Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Арксинус и арккосинус (в стадии наполнения)

Задание

Найдите значение:

\(\displaystyle \arccos\left(\sin\left(-\frac{30\pi}{7}\right)\right)=\)
\frac{11\pi}{14}

 

Решение

Арккосинусом числа \(\displaystyle x\) называется такое значение угла, обозначаемое \(\displaystyle \arccos(x){ \small ,}\) выраженного в радианах, для которого

\(\displaystyle \cos(\arccos(x))=x\) и \(\displaystyle 0 \le \arccos(x) \le \pi{\small .}\)

Используем формулу приведения

\(\displaystyle \sin(\alpha)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\)

Поэтому

\(\displaystyle \sin\left(-\frac{30\pi}{7}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{30\pi}{7}\right)\right)=\cos\left(\frac{67\pi}{14}\right){\small .}\)

Используем формулу приведения

\(\displaystyle \cos(2\pi+\alpha)=\cos(\alpha){\small ,} \)

чтобы получить угол из промежутка \(\displaystyle \left[0;\, \pi\right]{ \small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \cos\left(\frac{67\pi}{14}\right)=\cos\left(\frac{\color{red}{ 14}\cdot 4\pi+11\pi}{\color{red}{ 14}}\right)=\cos\left(4\pi+\frac{11\pi}{14}\right)=\cos\left(\frac{11\pi}{14}\right){\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle \arccos\left(\sin\left(-\frac{30\pi}{7}\right)\right)=\arccos\left(\cos\left(\frac{11\pi}{14}\right)\right)=\frac{11\pi}{14}{\small .}\)


Ответ:\(\displaystyle \frac{11\pi}{14}{\small .}\)