Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Иррациональные уравнения

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle \sqrt{-6x-10}=\sqrt{-2x+2}{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
-3

(если корня нет, то ячейку оставьте пустой)

Решение

Так как под корнем не может быть отрицательных чисел, то

  • \(\displaystyle \sqrt{-6x-10}\) дает ограничение \(\displaystyle -6x-10 \ge 0{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle \sqrt{-2x+2}\) дает ограничение \(\displaystyle -2x+2 \ge 0{\small .}\)

Так как \(\displaystyle \sqrt{-6x-10} \ge 0 \)  и \(\displaystyle \sqrt{-2x+2} \ge 0{ \small ,}\) то можно обе части уравнения возвести в квадрат:

\(\displaystyle \left(\sqrt{-6x-10}\right)^2=\left(\sqrt{-2x+2}\right)^2{ \small .}\)

Тогда получаем линейное уравнение

\(\displaystyle -6x-10=-2x+2{ \small ,}\)

или

\(\displaystyle -4x=12{ \small .}\)

Следовательно,

\(\displaystyle x=\frac{12}{-4}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=-3{ \small .}\)

Подставляем ответ в ОДЗ

Так как \(\displaystyle x=-3\) – решение уравнения \(\displaystyle -6x-10=-2x+2{ \small ,}\) то достаточно проверить лищь одно неравенство.

Первое неравенство \(\displaystyle -6x-10 \ge 0{\small .}\) Подставляем \(\displaystyle x=-3{ \small :}\)

\(\displaystyle -6\cdot (-3)-10 \ge 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 8 \ge 0{\small .}\)

Удовлетворяет неравенству.

Таким образом,

\(\displaystyle x=-3\) – решение уравнения.

Ответ: \(\displaystyle x=-3{\small .}\)