Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Противоположное событие, произведение и сумма вероятностей

Задание

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы \(\displaystyle 4\) очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает \(\displaystyle 3\) очка, в случае ничьей — \(\displaystyle 1\) очко, если проигрывает — \(\displaystyle 0\) очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны \(\displaystyle 0{,}3{\small . }\)

0,33
Решение

Для того чтобы команда вышла в следующий круг, она должна либо два раза выиграть, либо выиграть и сыграть вничью.

Обозначим за "В" – выигрыш, "Н" – ничья, "П" – проигрыш.

Тогда наше событие – это

ВВ или ВН или НВ.

Так как события ВВ, ВН, НВ несовместны (то есть не могут произойти одновременно), то можно воспользоваться правилом.

Правило

Формула суммы вероятностей

Если события  \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) несовместны, то есть наступление одного события исключает появление другого события, то тогда вероятность того, что наступит событие \(\displaystyle A\) или событие \(\displaystyle B{ \small ,}\) равна сумме вероятностей наступления событий \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small ,}\) то есть

\(\displaystyle P(A+ B)=P(A)+P(B){\small .}\)

\(\displaystyle P(ВВ + ВН+ НВ)=P(ВВ) + P(ВН)+ P(НВ){\small .}\)

Так как по условию задачи результаты матча не зависят друг от друга, то используем правило.

Правило

Формула произведения вероятностей

Если события  \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) независимы, то есть наступление одного из событий никак не влияет на вероятность наступления другого события, то вероятность их одновременного наступления равна

\(\displaystyle P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B){\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle P(В\cdot В) + P(В\cdot Н)+ P(Н\cdot В)=P(В)\cdot P(В) + P(В)\cdot P(Н)+ P(Н)\cdot P(В){\small .}\)

По условию \(\displaystyle P(В)=0{,}3{ \small ,}\) \(\displaystyle P(П)=0{,}3\) и, соответственно,

\(\displaystyle P(Н)=1-P(В)-P(П)=1-0{,}3-0{,}3=0{,}4{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle \begin{aligned} P(ВВ + ВН+ НВ)&=P(ВВ) + P(ВН)+ P(НВ)=\\&=P(В)\cdot P(В) + P(В)\cdot P(Н)+ P(Н)\cdot P(В)=\\&=0{,}3\cdot 0{,}3+0{,}3\cdot 0{,}4+0{,}4\cdot 0{,}3=0{,}33{\small .}\end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle 0{,}33{\small .}\)