Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Оптимизация, максимальное или минимальное значение

Задание

В регионе А среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2016\) году составил \(\displaystyle 43740\) рублей и ежегодно увеличивался на \(\displaystyle 25\%{\small .}\) В регионе В среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2016\) составил \(\displaystyle 60000\) рублей. В течении трех лет суммарный доход жителей города В увеличивался на \(\displaystyle 17\%\) ежегодно, а население увеличивается на \(\displaystyle m\%\) ежегодно. В \(\displaystyle 2019\) году среднемесячный доход на душу населения в регионах А и В стал одинаковым. Найдите \(\displaystyle m{\small .}\)

\(\displaystyle m\%=\)
4
\(\displaystyle \%{\small .}\)
Решение

Найдем среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2019\) году в городе А.

Так как в городе А доход ежегодно увеличивается на  \(\displaystyle 25\%\), то
 

 год среднемесячный доход на душу населения
2017\(\displaystyle 43740+43740 \cdot \frac{25}{100} =43740 \cdot 1{,}25\)
2018\(\displaystyle 43740 \cdot 1{,}25 \cdot 1{,}25=43740 \cdot 1{,}25^2\)
2019\(\displaystyle 43740 \cdot 1{,}25^2\cdot 1{,}25=\color{green}{43740 \cdot 1{,}25^3}\)


Поэтому среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2019\) в городе А равен \(\displaystyle \bf 43740 \cdot 1{,}25^3{\small .}\)

Для того чтобы найти среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2019\) в городе В

  1. найдем население города В в \(\displaystyle 2019\) году,
  2. найдем общий доход в городе B в \(\displaystyle 2019\) году,
  3. разделим общий доход горожан на число жителей и число месяцев в году (на 12).

Пусть \(\displaystyle N\) – число жителей города В в \(\displaystyle 2016\) году. Пусть \(\displaystyle k=1+\frac{m}{100}{\small .}\) Так как каждый год население увеличивалось на \(\displaystyle m\%{ \small ,}\) то
 

год число жителей общий годовой доходсреднемесячный доход на душу населения
2016 \(\displaystyle N\)  
2017 \(\displaystyle N \cdot k\)  
2018 \(\displaystyle N \cdot k \cdot k =N \cdot k^2\)  
2019\(\displaystyle N \cdot k^2 \cdot k =N \cdot k^3\)  


В городе В среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2016\) составлял \(\displaystyle 60000\) рублей:
 

год число жителей общий годовой доходсреднемесячный доход на душу населения
2016 \(\displaystyle N\) \(\displaystyle 60000\)
2017 \(\displaystyle N \cdot k\)  
2018 \(\displaystyle N \cdot k \cdot k =N \cdot k^2\)  
2019\(\displaystyle N \cdot k^2 \cdot k =N \cdot k^3\)  


Общий годовой доход города В равен произведению количества жителей на среднемесячный доход на душу населения и число месяцев в году (на 12).

Известно, что он увеличивался на \(\displaystyle 17\%\) ежегодно. Поэтому получаем:
 

год число жителей общий годовой доходсреднемесячный доход на душу населения
2016 \(\displaystyle N\) \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12\)\(\displaystyle 60000\)
2017 \(\displaystyle N \cdot k\) \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12\cdot 1{,}17\) 
2018 \(\displaystyle N \cdot k \cdot k =N \cdot k^2\) \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^2\) 
2019\(\displaystyle N \cdot k^2 \cdot k =N \cdot k^3\) \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^3\) 


Так как среднемесячный доход на душу населения равен частному ежегодного дохода на число жителей и число месяцев году (12), то
 

год число жителей общий годовой доходсреднемесячный доход на душу населения
2016 \(\displaystyle N\) \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12\)\(\displaystyle 60000\)
2017 \(\displaystyle N \cdot k\) \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12\cdot 1{,}17\) \(\displaystyle \frac{N \cdot 60000 \cdot 12\cdot 1{,}17}{N \cdot k \cdot 12}\)
2018 \(\displaystyle N \cdot k \cdot k =N \cdot k^2\) \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^2\)\(\displaystyle \frac{N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^2}{N \cdot k^2\cdot 12}\)
2019\(\displaystyle N \cdot k^2 \cdot k =N \cdot k^3\) \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^3\)\(\displaystyle \color{blue}{\frac{N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^3}{N \cdot k^3 \cdot 12}}\)


По условию в \(\displaystyle 2019\) году среднемесячный доход на душу населения в регионах А и В стал одинаковым, то есть

\(\displaystyle \color{green}{43740 \cdot 1{,}25^3}=\color{blue}{\frac{N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^3}{N \cdot k^3 \cdot 12}}{\small .}\)

Решим данное уравнение. Упрощаем:

\(\displaystyle 43740 \cdot 1{,}25^3=\frac{ 60000 \cdot 1{,}17^3}{ k^3 }{\small .}\)

Отсюда

\(\displaystyle k^3=\frac{ 60000 \cdot 1{,}17^3}{43740 \cdot 1{,}25^3}{ \small .}\)

Разложим на простые множители:

\(\displaystyle 60000=2^5\cdot 3 \cdot 5^4\)  и \(\displaystyle 43740=2^2 \cdot 3^7 \cdot 5{\small .}\)

Подставляем:

\(\displaystyle k^3=\frac{ 2^5\cdot 3 \cdot 5^4 \cdot 1{,}17^3}{2^2 \cdot 3^7 \cdot 5 \cdot 1{,}25^3}{ \small .}\)

Сокращаем:

\(\displaystyle k^3=\frac{ 2^3 \cdot 5^3 \cdot 1{,}17^3}{ 3^6 \cdot 1{,}25^3}{ \small .}\)

Извлекая из обеих частей корень кубический, получаем:

\(\displaystyle k=\frac{ 2 \cdot 5 \cdot 1{,}17}{ 3^2 \cdot 1{,}25}{ \small ,}\)

\(\displaystyle k=\frac{ 10 \cdot 1{,}17}{ 9 \cdot 1{,}25}{ \small ,}\)

\(\displaystyle k=1{,}04{\small .}\)

Так как \(\displaystyle k=1+\frac{m}{100}{ \small ,}\) то

\(\displaystyle 1+\frac{m}{100}=1{,}04{\small .}\)

 Таким образом, \(\displaystyle m=4{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle m=4{\small .}\)