Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Тригонометрические функции

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle 2\sin^213^{\circ}-\tg13^{\circ}\cdot\ctg13^{\circ}+2\cos^213^{\circ}=\)

Решение

По определению тангенса и котангенса:

\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)   и   \(\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}{\small.}\)

Подставляя в выражение, получаем:

\(\displaystyle\begin{aligned}2\sin^213^{\circ}-\tg13^{\circ}\cdot\ctg13^{\circ}+2\cos^213^{\circ}=&2\sin^213^{\circ}-\frac{\cancel{\sin13^{\circ}}}{\cancel{\cos13^{\circ}}}\cdot\frac{\cancel{\cos13^{\circ}}}{\cancel{\sin13^{\circ}}}+2\cos^213^{\circ}=\\[10px]=&2\sin^213^{\circ}-1+2\cos^213^{\circ}{\small.}\end{aligned}\)


Чтобы избавиться от квадратов синуса и косинуса одного и того же угла воспользуемся правилом:

Правило

Основное тригонометрическое тождество

Для любого угла \(\displaystyle \color{red}{\alpha}\) верно:

\(\displaystyle \sin^2\color{red}{\alpha}+\cos^2\color{red}{\alpha}=1\)

Тогда 

\(\displaystyle 2\underline{\sin^2\color{red}{13^{\circ}}}-1+2\underline{\cos^2\color{red}{13^{\circ}}}=2(\underline{\sin^2\color{red}{13^{\circ}}}+\underline{\cos^2\color{red}{13^{\circ}}})-1=2\cdot1-1=1{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 1{\small.}\)