Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Рациональные уравнения

Задание

Найдите корень уравнения:

\(\displaystyle (x-8)^9=-1{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)

Решение

Извлечем корень девятой степени из обеих частей уравнения, чтобы избавиться от степени:

\(\displaystyle \sqrt[9]{(x-8)^9}=\sqrt[9]{-1}{ \small ,}\)

и воспользуемся правилом.

Правило

Корень из степени

\(\displaystyle \sqrt[n]{f(x)^{n}}=\left\{\begin{aligned}&f(x), \, если \, n\, нечетное,\\&|f(x)|, \, если \, n\, четное.\end{aligned}\right.\)

Так как \(\displaystyle 9\) нечетное число, то

\(\displaystyle \sqrt[9]{(x-8)^9}=x-8{\small ;}\)

\(\displaystyle \sqrt[9]{-1}=\sqrt[9]{(-1)^3}=-1{\small .}\)

Таким образом, получаем линейное уравнение

\(\displaystyle x-8=-1{ \small ,}\)

и, следовательно,

\(\displaystyle x=-1+8{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=7{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 7{\small .}\)