Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Трапеция (сложные задачи)

Задание

Основания равнобедренной трапеции равны \(\displaystyle 43\) и \(\displaystyle 73\small.\) Косинус острого угла трапеции равен \(\displaystyle \dfrac{5}{7}\small.\) Найдите боковую сторону.

21
Решение

Пусть \(\displaystyle AD=73\) и \(\displaystyle BC=43\) – основания, \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\)

По свойству равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Значит, \(\displaystyle \cos \angle A=\cos \angle D=\frac{5}{7}\small.\) Требуется найти боковую сторону.

Проведем высоты \(\displaystyle BH \) и \(\displaystyle CK \) трапеции.

 

Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH K C \) – прямоугольник. Тогда \(\displaystyle H K =BC=43 \small.\)

Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\)

Значит \(\displaystyle AH=DK\) и 

\(\displaystyle AH=DK=\frac{AD-BC}{2}\small,\)

\(\displaystyle AH=\frac{73-43}{2}=\frac{30}{2}=15\small.\)

 

Боковую сторону \(\displaystyle AB \) трапеции найдем из треугольника \(\displaystyle ABH\small.\)

Нам известны \(\displaystyle \cos \angle BAH=\frac{5}{7}\) и прилежащий к острому углу \(\displaystyle BAH\) катет \(\displaystyle AH=15\small.\)

Так как

\(\displaystyle \cos \angle BAH=\frac{AH}{AB},\)

то

\(\displaystyle AB=\frac{AH}{\cos\angle BAH}=\frac{15}{\phantom{1}{\displaystyle\frac{5}{7}}\phantom{1}}=\)

\(\displaystyle =\frac{15\cdot 7}{5}=3\cdot 7=21\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 21 \small.\)