Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 10 Пересечение прямая/корень и парабола/парабола (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображены графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x} \) и \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b{ \small ,}\) которые пересекаются в точке \(\displaystyle A{\small . }\) Найдите абсциссу точки \(\displaystyle A{\small . }\)

36
Решение

По условию задачи рафики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x} \) и \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b\) пересекаются в точке \(\displaystyle A{\small . }\) Самой точки \(\displaystyle A\) на рисунке не видно.

1. Найдем коэффициент \(\displaystyle a\) из уравнения функции \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x}{ \small .}\)

Заметим, что на графике функции \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x}\) отмечена точка с координатами \(\displaystyle (\color{blue}{4};\color{green}{5}){ \small .}\)

Значит, при подстановке её  координат \(\displaystyle x=\color{blue}4\) и \(\displaystyle y=\color{green}5\) в уравнение \(\displaystyle y=a \sqrt{x}\) получим верное равенство.

Подставляя, получаем уравнение:

\(\displaystyle \color{green}5=a\cdot \sqrt{\color{blue}4}{ \small ,} \)

\(\displaystyle 5=a \cdot 2{ \small ,} \)

откуда

\(\displaystyle a=2{,}5{ \small .}\)

Таким образом, исходная функция имеет вид:

\(\displaystyle f\left(x\right)=2{,}5\sqrt{x} \small.\)

2. Найдем коэффициенты \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\) из уравнения прямой \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b{ \small .}\)

По рисунку видим, что точки \(\displaystyle С\) c координатами \(\displaystyle (2;-2)\) и \(\displaystyle D\) c координатами \(\displaystyle (4;-1)\) принадлежат графику функции \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b{ \small .}\)

 

Подставим координаты точек \(\displaystyle C(2;\,-2)\) и \(\displaystyle D(4;-1)\) в уравнение прямой \(\displaystyle y=kx+b\,{\small . } \)

Точка \(\displaystyle C(\color{blue}{ 2};\color{green}{-2}) \) имеет координаты \(\displaystyle x=\color{blue}{ 2}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ -2}{\small , }\) поэтому

\(\displaystyle \color{green}{-2}=k\cdot \color{blue}{ 2}+b \)
или, что то же самое,
\(\displaystyle 2k+b=-2{\small . }\)

Точка \(\displaystyle D(\color{blue}{ 4};\color{green}{ -1}) \) имеет координаты \(\displaystyle x=\color{blue}{ 4}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ -1}{\small , }\) поэтому

\(\displaystyle \color{green}{ -1}=k\cdot \color{blue}{ 4}+b {\small , }\)
или, что то же самое,
\(\displaystyle 4 k+b=-1{\small . } \)

Мы получили два уравнения для коэффициентов \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b {\small . }\) Запишем систему уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2k+b&=-2{\small , }\\4k+b&=-1{\small . }\end{aligned}\right.\)

Решим эту систему.

Решение системы

Таким образом, \(\displaystyle k=0{,}5 \) и \(\displaystyle b=-3{\small . } \)

Подставляя найденные значения для \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b \) в уравнение прямой \(\displaystyle y=kx+b{\small , } \) получаем:

\(\displaystyle y=0{,}5x-3{\small . } \)

3. Найдем абсциссу точки \(\displaystyle A{ \small .}\)

Точка \(\displaystyle A\) – это точка пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=2{,}5\sqrt{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=0{,}5x-3{\small . }\) Значит, её координаты удовлетворяют уравнениям обеих функций:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=2{,}5\sqrt{x}{ \small ,}\\y&=0{,}5x-3{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Так как \(\displaystyle y=2{,}5\sqrt{x}\) и  \(\displaystyle y=0{,}5x-3{ \small ,}\) то :

\(\displaystyle 2{,}5\sqrt{x}=0{,}5x-3 { \small .}\)

\(\displaystyle 2{,}5\sqrt{x}=0{,}5x-3 \phantom{1} \big| \cdot 2 { \small ,}\)

\(\displaystyle 5\sqrt{x}=x-6 { \small ,}\)

Решим полученное уравнение:

Правило

Иррациональное уравнение вида \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g^2(x){ \small ,}\\g(x)&\ge0{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Воспользуемся данным правилом.

Тогда уравнение \(\displaystyle 5\sqrt{x}=x-6\) равносильно системе:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}25x&=(x-6)^2{ \small ,}\\x-6&\ge0{ \small .}\end{aligned}\right. \)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}25x&=x^2-12x+36{ \small ,}\\x&\ge6{ \small .}\end{aligned}\right. \)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-37x+36&=0{ \small ,}\\x&\ge6{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-37x+36=0{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=36\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-37x+36=0{\small.}\)

Корень \(\displaystyle x=1\) не удовлетворяет неравенству \(\displaystyle x\ge6{ \small .}\)

Корень \(\displaystyle x=36\) удовлетворяет неравенству \(\displaystyle x\ge6{ \small .}\)

Значит, решением иррационального уравнения \(\displaystyle 5\sqrt{x}=x-6\) является  \(\displaystyle x=36{ \small .}\)

Таким образом, абсцисса точки \(\displaystyle A\) равна \(\displaystyle 36{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 36{\small.}\)