Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 11 Пересечение прямой с гиперболой/параболой (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображены графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=kx+d\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=x^2 +bx+c{ \small ,}\) которые пересекаются в точках \(\displaystyle A(-4;2)\) и \(\displaystyle B(-1;-4){ \small .}\) 

Найдите \(\displaystyle k{\small,}\) \(\displaystyle d{\small,}\) \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small.}\)

\(\displaystyle k=\)\(\displaystyle { \small ,}\) \(\displaystyle d=\) \(\displaystyle { \small ,}\)\(\displaystyle b=\) \(\displaystyle { \small ,}\)\(\displaystyle c=\)

Решение

По условию задачи, графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=kx+d\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=x^2+bx+c\) пересекаются
в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)

Тогда: 

1.  Точки \(\displaystyle A(\color{blue}{-4};\color{blue}{2})\) и \(\displaystyle B(\color{green}{-1};\color{green}{-4})\) лежат на графике функции \(\displaystyle f\left(x\right)=kx+d{\small.}\)

Значит,

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{-4}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{2}\) в уравнение \(\displaystyle y=kx+d\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{-1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{-4}\) в уравнение \(\displaystyle y=kx+d\) получим верное равенство.

2. Точки \(\displaystyle A(\color{blue}{-4};\color{blue}{2})\) и \(\displaystyle B(\color{green}{-1};\color{green}{-4})\) лежат на графике функции \(\displaystyle g(x)=ax^2+bx+c{\small.}\)

Значит,

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{-4}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{2}\) в уравнение \(\displaystyle y=x^2+bx+c\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{-1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{-4}\) в уравнение \(\displaystyle y=x^2+bx+c\) получим верное равенство.

Таким образом, получаем систему уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{2}&\color{blue}{=k\cdot (\color{blue}{-4})+d}{ \small ,}\\\color{green}{-4}&\color{green}{=k\cdot (\color{green}{-1})+d}{ \small ,}\\\color{blue}{2}&\color{blue}{=(\color{blue}{-4})^2+b\cdot (\color{blue}{-4})+c}{ \small ,}\\\color{green}{-4}&\color{green}{=(\color{green}{-1})^2+b\cdot (\color{green}{-1})+c} {\small .}\end{aligned}\right. \)

Или

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2&=-4k+d{ \small ,}\\-4&=-k+d{ \small ,}\\2&=16-4b+c{ \small ,}\\-4&=1-b+c {\small .}\end{aligned}\right. \)

Тогда

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}4k-d&=-2{ \small ,}\\k-d&=4{ \small ,}\\4b-c&=14{ \small ,}\\b-c&=5 {\small .}\end{aligned}\right. \)

Решим полученную систему.

Решение данной системы уравнений \(\displaystyle k=-2{\small,}\) \(\displaystyle d=-6{\small,}\) \(\displaystyle b=3{\small,}\) \(\displaystyle c=-2{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle k=-2{\small,}\) \(\displaystyle d=-6{\small,}\) \(\displaystyle b=3{\small,}\) \(\displaystyle c=-2{\small.}\)