Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 11 Пересечение прямой с гиперболой/параболой (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображены графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=-3x-7\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=x^2+3x-2{ \small ,}\) которые пересекаются в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)

Найдите ординату точки \(\displaystyle B{ \small .}\)

Решение

По условию задачи, графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=3x-7\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=x^2+3x-2\) пересекаются
в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)

Точку \(\displaystyle A\) видно на рисунке, а точку \(\displaystyle B\) – нет.

Найдем абсциссы точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)

Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) – это точки пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=-3x-7\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=x^2+3x-2{ \small .}\) Значит, координаты этих точек удовлетворяют и уравнению прямой, и уравнению параболы:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=-3x-7{ \small ,}\\y&=x^2+3x-2{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Так как \(\displaystyle y=-3x-7\) и \(\displaystyle y=x^2+3x-2{ \small ,} \) то

\(\displaystyle x^2+3x-2=-3x-7{ \small .}\)

Решим полученное уравнение:

\(\displaystyle x^2+3x-2+3x+7= 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2+6x+5=0 { \small .}\)

\(\displaystyle x_1=-5\) и \(\displaystyle x_2=-1\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+6x+5=0{\small.}\)

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=-3x-7\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=x^2+3x-2\) равны 

\(\displaystyle x_1=-5\) и \(\displaystyle x_2=-1{\small.}\)

По рисунку видим, что \(\displaystyle x_2=-1\) – это абсцисса точки \(\displaystyle A{\small.}\) 

Значит, точке  \(\displaystyle B\) соответствует меньшая из найденных абсцисс  \(\displaystyle x_1=-5{\small.}\)

2. Найдем ординату точки \(\displaystyle B{\small,}\) подставив найденное значение \(\displaystyle x\) в уравнение \(\displaystyle f\left(x\right)=3x-7\) или \(\displaystyle g\left(x\right)=x^2+3x-2{\small.}\)

Воспользуемся уравнением прямой \(\displaystyle f\left(x\right)=-3x-7{\small:}\)

\(\displaystyle y=-3 \cdot (-5)-7=15-7=8{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle y=8\) – ордината точки  \(\displaystyle B{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 8{\small.}\)