Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 11 Пересечение прямой с гиперболой/параболой (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображены графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=5x+9\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=ax^{2} +bx+c{ \small ,}\) которые пересекаются в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\) Найдите абсциссу точки \(\displaystyle B{ \small .}\)

Решение

По условию задачи, графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=5x+9\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=ax^2+bx+c\) пересекаются
в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)

Точку \(\displaystyle A\) мы видим на рисунке, а точку \(\displaystyle B\) – нет.

1. Найдем коэффициенты \(\displaystyle a{\small,}\) \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small}\) из уравнения параболы \(\displaystyle g\left(x\right)=ax^2+bx+c{ \small .}\)

Чтобы найти коэффициенты, составим систему линейных уравнений относительно \(\displaystyle a{\small,}\) \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small}\) и решим её.

Воспользуемся тем, что точки \(\displaystyle (\color{blue}{-2};\color{blue}{-1}){\small,}\)\(\displaystyle (\color{green}{-1};\color{green}{-3})\) и \(\displaystyle (\color{Purple}{2};\color{Purple}{3})\) лежат на графике функции \(\displaystyle g(x)=ax^2+bx+c{\small.}\)

Значит,

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{-2}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{-1}\) в уравнение \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{-1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{-3}\) в уравнение \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{Purple}{2}\) и \(\displaystyle y=\color{Purple}{3}\) в уравнение \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) получим верное равенство.

Таким образом, получаем систему уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{-1}&\color{blue}{=a\cdot (\color{blue}{-2})^2+b\cdot (\color{blue}{-2})+c}{ \small ,}\\\color{green}{-3}&\color{green}{=a\cdot (\color{green}{-1})^2+b\cdot (\color{green}{-1})+c}{ \small ,}\\\color{Purple}{3}&\color{Purple}{=a \cdot \color{Purple}{2}^2+b\cdot \color{Purple}{2}+c} {\small .}\end{aligned}\right. \)

Или

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}4a-2b+c&=-1{ \small ,}\\a-b+c&=-3{ \small ,}\\4a+2b+c&=3 {\small .}\end{aligned}\right. \)


Выразим из второго уравнения \(\displaystyle c\) через  \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small : }\)

\(\displaystyle c=-3-a+b{\small .}\)

Теперь подставим выражение \(\displaystyle \color{Magenta}{-3-a+b}\) вместо \(\displaystyle c\) в первое и третье уравнения системы:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}4a-2b+(\color{Magenta}{-3-a+b})&=-1{ \small ,}\\4a+2b+(\color{Magenta}{-3-a+b})&=3 {\small .}\end{aligned}\right. \)

Или

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}{3a-b=2}{ \small ,}\\{3a+3b=6} {\small .}\end{aligned}\right. \)

Решим полученную систему.

Решение данной системы уравнений \(\displaystyle a=1\) и \(\displaystyle b=1{\small .}\)

Найдём решение исходной системы из трёх уравнений.

Воспользуемся тем, что

\(\displaystyle c=-3-a+b\)

и

 \(\displaystyle a=1\) и \(\displaystyle b=1{ \small .}\)

Получим:

\(\displaystyle c=-3-1+1=-3{ \small .}\)

Решением исходной системы является тройка чисел

  \(\displaystyle a=1{ \small ,}\) \(\displaystyle b=1\) и \(\displaystyle c=-3{ \small .}\)

Значит, уравнение параболы имеет вид:

\(\displaystyle g\left(x\right)=x^2+x-3{ \small .}\)

2. Найдем абсциссу точки \(\displaystyle B{ \small .}\)

Так как \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\)– точки пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=5x+9\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=x^2+x-3{ \small ,}\) то их координаты удовлетворяют и уравнению прямой, и уравнению параболы:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=5x+9{ \small ,}\\y&=x^2+x-3{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Так как \(\displaystyle y=5x+9\) и \(\displaystyle y=x^2+x-3{ \small ,}\) то

\(\displaystyle x^2+x-3=5x+9{ \small .}\)

Решим полученное уравнение:

\(\displaystyle x^2+x-3-5x-9= 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2-4x-12=0 { \small .}\)

\(\displaystyle x_1=-2\) и \(\displaystyle x_2=6\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-4x-12=0{\small.}\)

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=5x+9\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=x^2+x-3\) равны 

\(\displaystyle x_1=-2\) и \(\displaystyle x_2=6{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=-2\) – это абсцисса точки \(\displaystyle A{\small.}\) 

Значит, точке  \(\displaystyle B\) соответствует большая из найденных абсцисс  \(\displaystyle x_2=6{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 6{\small.}\)