Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 11 Пересечение прямой с гиперболой/параболой (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображены графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{k}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=ax+b{ \small ,}\) которые пересекаются в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\) Найдите ординату точки \(\displaystyle B{ \small .}\)

-10
Решение

По условию задачи, графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1\) пересекаются
в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)

Точку \(\displaystyle A\) видно на рисунке, а точку \(\displaystyle B\) – нет.

1. Найдем неизвестный коэффициент \(\displaystyle k\) из уравнения гиперболы \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}{ \small .}\)

По рисунку видим, что точка \(\displaystyle A\) имеет координаты  \(\displaystyle (2;1){\small.}\)

Точка \(\displaystyle A\) лежит на графике функции \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}{ \small .}\) Значит, координаты точки \(\displaystyle A\) удовлетворяют уравнению \(\displaystyle y=\frac{k}{x}{ \small .} \)

Используем это для нахождения коэффициента \(\displaystyle k{\small.}\)

\(\displaystyle k= 2\)

Значит, уравнение гиперболы: 

 \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{x}{ \small .}\)

 

2. Найдем коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) из уравнения прямой \(\displaystyle g\left(x\right)=ax+b{ \small .}\)

По рисунку видим, что точки \(\displaystyle A\) c координатами  \(\displaystyle (2;1)\) и \(\displaystyle C\) c координатами  \(\displaystyle (1;-4)\) принадлежат графику функции \(\displaystyle g\left(x\right)=ax+b{ \small .}\)

Подставим координаты точек \(\displaystyle A(2;\,1)\) и \(\displaystyle C(1;-4)\) в уравнение прямой \(\displaystyle y=ax+b\,{\small . } \)

Точка \(\displaystyle A(\color{blue}{ 2};\color{green}{1}) \) с координатами  \(\displaystyle x=\color{blue}{ 2}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ 1}{\small , }\) поэтому

\(\displaystyle \color{green}{1}=a\cdot \color{blue}{ 2}+b \)
или, что то же самое,
\(\displaystyle 2a+b=1{\small . }\)

Точка \(\displaystyle C(\color{blue}{ 1};\color{green}{ -4}) \) с координатами  \(\displaystyle x=\color{blue}{ 1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ -4}{\small , }\) поэтому

\(\displaystyle \color{green}{ -4}=a\cdot \color{blue}{ 1}+b {\small , }\)
или, что то же самое,
\(\displaystyle a+b=-4{\small . } \)

Получили два уравнения для коэффициентов \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) и можем записать систему уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2a+b&=1{\small , }\\a+b&=-4{\small . }\end{aligned}\right.\)

Решим эту систему.

Решение системы

Таким образом, \(\displaystyle a=5 \) и \(\displaystyle b=-9{\small . } \)

Подставляя найденные значения для \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) в уравнение прямой \(\displaystyle y=ax+b{\small , } \) получаем:

\(\displaystyle y=5x-9{\small . } \)

3. Найдем абсциссы точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)

Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) – это точки пересечения графиков функций  \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=5x-9.\) Значит, координаты этих точек удовлетворяют и уравнению гиперболы, и уравнению прямой 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=\frac{2}{x}{ \small ,}\\y&=5x-9{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Так как \(\displaystyle y=\frac{2}{x}\) и \(\displaystyle y=5x-9{ \small ,}\) то

\(\displaystyle 5x-9=\frac{2}{x} { \small .}\)

Решим полученное уравнение:

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю.

\(\displaystyle 5x-9-\frac{2}{x}= 0 { \small ,}\)

\(\displaystyle \frac{5x^2-9x-2}{x}=0 { \small .}\)

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 

Получаем систему:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}5x^2-9x-2=&0{ \small ,}\\x \,\cancel=\,&0{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим квадратное уравнение \(\displaystyle 5x^2-9x-2=0{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=-0{,}2\) и \(\displaystyle x_2=2\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle 5x^2-9x-2=0{\small.}\)

Оба корня \(\displaystyle x_1=-0{,}2\) и \(\displaystyle x_2=2\)  удовлетворяют ограничению \(\displaystyle x\,\cancel=\,0 {\small.}\) Значит, они являются корнями исходного уравнения.

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=4x-2\) равны 

\(\displaystyle x_1=-0{,}2\) и \(\displaystyle x_2=2{\small.}\)

\(\displaystyle x_2=2\) – это абсцисса точки \(\displaystyle A{\small.}\) 

Значит, точке  \(\displaystyle B\) соответствует меньшая из найденных абсцисс  \(\displaystyle x_1=-0{,}2{\small.}\)

4. Найдем ординату точки \(\displaystyle B{\small,}\) подставив найденное значение \(\displaystyle x\) в уравнение гиперболы \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{x}\) или прямой \(\displaystyle y=ax+b{\small . } \)

Воспользуемся уравнением прямой \(\displaystyle y=5x-9{\small:}\)

\(\displaystyle y=5 \cdot \left( -0{,}2\right)-9=-1-9=-10{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle y=-10\) – ордината точки  \(\displaystyle B{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle -10{\small.}\)