Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 11 Пересечение прямой с гиперболой/параболой (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображены графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{4}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x+1{ \small ,}\) которые пересекаются в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\) Найдите ординату точки \(\displaystyle B{ \small .}\)

-1
Решение

По условию задачи, графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1\) пересекаются
в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small .}\)

Точку \(\displaystyle A\) видно на рисунке, а точку \(\displaystyle B\) – нет.

Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) – это точки пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1{ \small .}\)

Значит, координаты этих точек удовлетворяют и уравнению гиперболы, и уравнению прямой:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=\frac{4}{x}{ \small ,}\\y&=\frac{1}{2}x+1{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Так как \(\displaystyle y=\frac{4}{x} \) и \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1{ \small ,} \) то

\(\displaystyle \frac{1}{2}x+1=\frac{4}{x} { \small .}\)


Решим полученное уравнение.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю.

\(\displaystyle \frac{1}{2}x+1-\frac{4}{x}= 0 { \small ,} \)

\(\displaystyle \frac{x^2+2x-8}{2x}= 0 { \small .}\)

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 

Получаем систему:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2+2x-8=&0{ \small ,}\\2x \,\cancel{=}\,&0{ \small ;}\end{aligned}\right. \)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2+2x-8=&0{ \small ,}\\x \,\cancel{=}\,&0{ \small .}\end{aligned}\right. \)

 

Решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+2x-8=0{ \small .}\)

\(\displaystyle x_1=-4\) и \(\displaystyle x_2=2\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+2x-8=0{\small.}\)

Оба корня \(\displaystyle x_1=-4\) и \(\displaystyle x_2=2\) удовлетворяют ограничению \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0 {\small.}\) Значит, они являются корнями исходного уравнения.

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1\) равны 

\(\displaystyle x_1=-4\) и \(\displaystyle x_2=2{\small.}\)


Значения \(\displaystyle x_1=-4\) и \(\displaystyle x_2=2\) соответствуют двум точкам пересечения \(\displaystyle A \) и \(\displaystyle B{\small .} \)

Точка \(\displaystyle B{ \small ,}\) которой не видно на рисунке, расположена левее точки \(\displaystyle A{\small.}\)

Значит, абсцисса точки \(\displaystyle B\) меньше, чем абсцисса точки \(\displaystyle A{\small .}\)

Поэтому точке  \(\displaystyle B\) соответствует \(\displaystyle x_1=-4{\small.}\)


Найдем ординату точки \(\displaystyle B{\small,}\) подставив найденное значение \(\displaystyle x=-4\) в уравнение \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) или \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1{\small.}\)

Воспользуемся уравнением гиперболы \(\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{4}{x}{\small:}\)

\(\displaystyle y=\dfrac{4}{x}=\dfrac{4}{-4\phantom{1}}=-1{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle y=-1\) – ордината точки  \(\displaystyle B{\small.}\)
 

Ответ: \(\displaystyle -1{\small.}\)