Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 08 Показательная функция (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle f(x)=a^{x +b}{\small .}\) Найдите значение \(\displaystyle x,\) при котором \(\displaystyle f(x)=32{\small .}\)


 

\(\displaystyle x=\)

Решение

Чтобы найти значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle f(x)=32{ \small ,}\)

  • найдём неизвестные коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{ \small ,}\)
  • решим уравнение  \(\displaystyle a^{x +b}=32{ \small .}\)

В условии дана показательная функция \(\displaystyle f(x)=a^{x +b} { \small .}\)

Так как показательная функция определена только для положительного основания, отличного от единицы, то имеем ограничения на параметр \(\displaystyle a { \small :}\)

\(\displaystyle a>0{ \small ,}\) \(\displaystyle a\,\cancel{=}\, 1{ \small .}\)

Составим систему уравнений относительно \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small}\) и решим её.

Отметим, что точки \(\displaystyle (\color{blue}{-3};\color{blue}{1})\) и \(\displaystyle (\color{green}{1};\color{green}{4})\) лежат на графике функции.

Значит,

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{-3}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{1}\)  в уравнение \(\displaystyle y=a^{x +b}\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат\(\displaystyle x=\color{green}{1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{4}\)  в уравнение \(\displaystyle y=a^{x +b}\) получим верное равенство.

Таким образом, получаем систему уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{1}&=a^{\color{blue}{-3} +b}{ \small ,}\\\color{green}{4}&=a^{\color{green}{1} +b}{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решение данной системы уравнений \(\displaystyle a=\sqrt2\) и \(\displaystyle b=3\)

Учитывая, что \(\displaystyle a>0{ \small ,}\) \(\displaystyle a\,\cancel{=}\, 1{ \small ,}\) перепишем первое уравнение системы в виде:

\(\displaystyle a^0=a^{-3+b}{ \small .}\)

Отсюда

\(\displaystyle -3+b=0{ \small ,}\)

то есть

\(\displaystyle b=3{ \small .}\)

Подставим во второе уравнение системы \(\displaystyle b=3{ \small :}\)

\(\displaystyle 4=a^{1+3}=a^4{ \small .}\)

Поскольку  \(\displaystyle a>0{ \small ,}\) то

\(\displaystyle a=\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2^{2}} =\sqrt2{ \small .}\)

Итак, 

 \(\displaystyle a=\sqrt2\) и \(\displaystyle b=3{ \small .}\)

Таким образом, исходная функция имеет вид:

\(\displaystyle y=(\sqrt2) ^{x +3}{ \small .}\)

Найдём те значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых значения функции \(\displaystyle f(x)\) равны \(\displaystyle 32{ \small .}\)

Все такие \(\displaystyle x\) удовлетворяют уравнению

\(\displaystyle (\sqrt2) ^{x +3}=32{ \small .}\)

Решим его.

\(\displaystyle (\sqrt2) ^{x +3}=(\sqrt2) ^{10}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x+3=10{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=7{ \small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x=7{ \small .}\)