Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 07 Логарифмическая функция (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle f(x)=b+\log _{a} x{\small .}\) Найдите значение \(\displaystyle x,\) при котором \(\displaystyle f(x)=1{\small .}\)

 

 

\(\displaystyle x=\)

Решение

Чтобы найти значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle f(x)=1{ \small ,}\)

  • найдём неизвестные коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{ \small ,}\)
  • решим уравнение  \(\displaystyle b+\log _{a} x=1{ \small .}\)

Заметим, что на графике функции  \(\displaystyle f(x)=b+\log _{a} x\) отмечены точки с координатами \(\displaystyle (\color{blue}4;\color{blue}{-1})\) и \(\displaystyle (\color{green}2;\color{green}{-2}){ \small .}\) 

Значит,

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}4\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{-1}\)  в уравнение \(\displaystyle y=b+\log _{a} x\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат\(\displaystyle x=\color{green}2\) и \(\displaystyle y=\color{green}{-2}\)  в уравнение \(\displaystyle y=b+\log _{a} x\) получим верное равенство.

Таким образом, получаем систему логарифмических уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{-1}&=b+\log _{a} \color{blue}{4}{ \small ,}\\\color{green}{-2}&=b+\log _{a} \color{green}{2}{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим её.

Решение данной системы уравнений \(\displaystyle a=2\) и \(\displaystyle b=-3\)

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}a &> 0{\small ,}\\a\,&\cancel{=}\, 1{\small .}\end{aligned}\right.\)    

2. Найдём возможные решения системы.

Выразим из первого уравнения \(\displaystyle b\) через \(\displaystyle a\): 

\(\displaystyle b={-1-\log _{a} 4}{ \small .}\)

Подставим вместо  \(\displaystyle b\) во второе уравнение выражение \(\displaystyle b=\color{magenta}{-1-\log _{a} 4}{ \small .}\)

Получим логарифмическое уравнение:

\(\displaystyle {-2=\color{magenta}{-1-\log _{a} 4}+\log _{a} 2}{ \small ,}\)

откуда

\(\displaystyle {\log _{a} 4-\log _{a} 2}=1{ \small ,}\) 

\(\displaystyle \log _{a} \frac{4}{2}=1{ \small ,}\)

\(\displaystyle \log _{a} {2}=1{ \small ,}\)

Воспользуемся основным свойством логарифма. Это можно сделать, так как на ОДЗ \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, a\,\cancel{=}\, 1{\small .}\) 
Получим:

\(\displaystyle a^{\log _{a} {2}}=a^{1}{ \small ,}\)

\(\displaystyle a=2{ \small .}\)

Тогда

\(\displaystyle b=-1-\log _{a} 4 =-1-\log _{2} 4 =-1-2=-3{ \small .}\)

3. Проверим, принадлежат ли найденные значения ОДЗ. 

\(\displaystyle a=2{ \small :}\) \(\displaystyle 2>0\) верно  и \(\displaystyle 2\,\cancel{=}\,1\) верно удовлетворяет ОДЗ.

Итак, решением системы уравнений является пара чисел: 

\(\displaystyle a=2\) и \(\displaystyle b=-3{ \small .}\)

Таким образом, исходная функция имеет вид:

\(\displaystyle f(x)=-3+\log _{2} x{ \small .}\)

Найдём те значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых значения функции \(\displaystyle f(x)\) равны \(\displaystyle 1{ \small .}\)

Все такие точки удовлетворяют уравнению

\(\displaystyle 1=-3+\log _{2} x{\small , } \)

\(\displaystyle \log _{2} x=4{\small . } \)

По определению, \(\displaystyle \log_c v=u\) равносильно \(\displaystyle v=c^u{\small .} \)

Поэтому уравнение

\(\displaystyle \log _{2} x=4\) равносильно \(\displaystyle x=2^4{\small .}\)

То есть

\(\displaystyle x=16{\small . } \)

Ответ: \(\displaystyle x=16{\small .}\)