Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 01 Максимум и минимум (степенные и иррациональные функции)

Задание

Найдите точку, в которой достигается наименьшее значение функции \(\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}-9x+9\)  на отрезке \(\displaystyle \left[1;\,81\right]{\small.}\)

36
Решение

Запишем область определения для функции \(\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}-9x+9{\small.}\)

Так как выражение \(\displaystyle \sqrt{x}\) имеет смысл только при \(\displaystyle x\ge 0{\small,}\) то область определения имеет вид

\(\displaystyle x\ge 0.\)

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}-9x+9{\small:}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(x\sqrt{x}-9x+9\right)^{\prime}=\frac{3}{2}\sqrt{ x}-9{\small.}\)

2) Найдем точки, в которых \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0{\small.}\)

Так как \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{3}{2}\sqrt{ x}-9{\small,}\) то для этого необходимо решить уравнение \(\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{ x}-9=0{\small.}\)

\(\displaystyle x=36\) корень уравнения \(\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{ x}-9=0{\small.}\)

3) Отметим корни производной на числовой прямой, а также определим ее знаки на получившихся интервалах в области определения исходной функции.

Тогда  \(\displaystyle x\ge 0\) и получаем:

  • на интервале \(\displaystyle \color{green}{(36;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{(0;\,36)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}-9x+9{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


Схематично изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Значит, \(\displaystyle x=36\) – точка минимума функции \(\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}-9x+9{\small.}\)

5) Определим, в какой из точек промежутка \(\displaystyle \left[1;\,81\right]\) достигается наименьшее значение.

Точка минимума \(\displaystyle x=36\) попадает в промежуток \(\displaystyle \left[1;\,81\right]{\small.}\)

Подставляем точку минимума \(\displaystyle \color{green}{x=36}\) и концы промежутка \(\displaystyle \color{blue}{x=1}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{x=81}\) в \(\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}-9x+9{\small:}\)

  • \(\displaystyle f(\color{green}{36})=36\sqrt{36}-9\cdot36+9=216-324+9=-99{\small,}\)
  • \(\displaystyle f(\color{blue}{1})=1\sqrt{1}-9\cdot1+9=1-9+9=1{\small,}\)
  • \(\displaystyle f(\textcolor{Purple}{81})=81\sqrt{81}-9\cdot81+9=729-729+9=9{\small.}\)

Видим, что наименьшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{green}{x=36}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 36{\small.}\)

Замечание / комментарий

Отметим на картинке отрезок \(\displaystyle \left[1;\,81\right]{\small:}\)

Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[1;\,81\right]\) функция убывает до точки \(\displaystyle x=36{\small,}\) а затем возрастает.

Значит, наименьшее значение достигается именно в точке \(\displaystyle x=36{\small.}\)