Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 01 Максимум и минимум (степенные и иррациональные функции)

Задание

Найдите точку максимума функции \(\displaystyle f(x)=-\frac{x^2+16}{x}{\small.}\)

\(\displaystyle x_{max}=\)
4
Решение
Запишем область определения функции \(\displaystyle f(x)=-\frac{x^2+16}{x}{\small.}\)

Так как дробь \(\displaystyle \frac{x^2+16}{x}\) не имеет смысла при \(\displaystyle x=0{\small,}\) то область определения имеет вид:

\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0{\small.}\)

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=-\frac{x^2+16}{x}{\small:}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(-\frac{x^2+16}{x}\right)^{\prime}=\frac{16-x^2}{{x^2}}{\small.}\)

2) Найдем интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{16-x^2}{{x^2}}{\small.}\)

\(\displaystyle {(-\infty;\,-4)}{\small,}\,{(-4;\, 0)}{\small,}\,{(0;\,4)}{\small,}\,{(4;\, +\infty)}\) – интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)\text{=}\frac{16-x^2}{{x^2}}{\small.}\)

3) Определим знаки производной на получившихся интервалах.

  • на интервалах \(\displaystyle \textcolor{Purple}{(-4;\, 0)}\) и \(\displaystyle \color{black}{(0;\,4)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,-4)}\) и \(\displaystyle \color{blue}{(4;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=-\frac{x^2+16}{x}{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


Схематично изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Точка \(\displaystyle x=4\) принадлежит области определения.

Значит, \(\displaystyle x=4\) – точка максимума функции \(\displaystyle f(x)=-\frac{x^2+16}{x}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 4{\small.}\)