Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 01 Максимум и минимум (степенные и иррациональные функции)

Задание

Найдите точку минимума функции \(\displaystyle f(x)=x^3-12x^2+29{\small.}\)

\(\displaystyle x_{min}=\)
8
Решение
1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=x^3-12x^2+29{\small:}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(x^3-12x^2+29\right)^{\prime}=3x^2-24x{\small.}\)

2) Найдем точки, в которых \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0{\small.}\)

Так как \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-24x{\small,}\) то для этого необходимо решить уравнение \(\displaystyle 3x^2-24x=0{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=0\) и \(\displaystyle x_2=8\) корни уравнения \(\displaystyle 3x^2-24x=0{\small.}\)

3) Отметим корни производной на числовой прямой, а также определим ее знаки на получившихся интервалах.

  • на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,0)}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{(8;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{(0;\, 8)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=x^3-12x^2+29{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


Схематично изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Значит, \(\displaystyle x=8\) – точка минимума функции \(\displaystyle f(x)=x^3-12x^2+29{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 8{\small.}\)