Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Определение вероятности, сумма и произведение событий

Задание

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна\(\displaystyle 0{,}6{\small .}\) Во сколько раз вероятность события "стрелок поразит ровно пять мишеней" больше вероятности события "стрелок поразит ровно четыре мишени"?

1,05
Решение

Проанализируем задачу.

1. Вероятность события "стрелок поразил мишень" не зависит от того, по какой мишени стреляет стрелок. Значит, имеем равновероятные события "стрелок поразил мишень".

2. Событие "стрелок поразил пять мишеней" состоит из пяти независимых равновероятных событий "стрелок поразил мишень". То есть:

  • считается как произведение вероятностей этих событий,
  • результатом будет степень, поскольку умножаем одну и ту же вероятность.

3. Событие "стрелок поразил ровно четыре мишени из пяти" разбивается на пять несовместных вариантов:

Каждый из этих вариантов состоит из:

  • четырех событий "стрелок поразил мишень";
  • одного события "стрелок промахнулся по мишени".

При этом вероятность каждого варианта одна и та же.

Число вариантов равно пяти.


Рассчитаем вероятности для каждого пункта.

1. Обозначим через \(\displaystyle A \) событие, что мишень поражена. Тогда \(\displaystyle \overline{A} \) – по мишени промахнулись.

Обозначим \(\displaystyle P(A)=p{\small ,}\) откуда \(\displaystyle P(\overline{A})=1-p=q{\small .}\)

2. Используя обозначения, получаем:

\(\displaystyle P(AAAAA)=P(A)\cdot P(A)\ldots \cdot P(A)=(P(A))^5=p^5{\small .}\)

3. Используя обозначения, посчитаем вероятность каждого варианта. Для этого достаточно посчитать вероятность первого варианта:

\(\displaystyle P(AAAA\overline{A})= P(A)\cdot P(A)\cdot P(A)\cdot P(A)\cdot P(\overline{A})=p^4q{\small .}\)

Тогда 

\(\displaystyle P(\text{\scriptsize "стрелок поразил ровно четыре мишени из пяти"})=\underbrace{p^4q+\ldots+p^4q}_{ 5\, раз }=5p^4q{\small .}\)

 

Найдем \(\displaystyle p=P(A)\) – вероятность поразить одну мишень.

\(\displaystyle p=0{,}84\)

Тогда 

\(\displaystyle q=1-p=1-0{,}84=0{,}16{\small .}\)

Подставим найденные значения в вероятности. 

Получаем:

\(\displaystyle P(\text{\scriptsize"стрелок поразил ровно пять мишеней"})=p^5=(0{,}84)^5{\small ;}\)

\(\displaystyle P(\text{\scriptsize"стрелок поразил ровно четыре мишени из пяти"})=5p^4q =5\cdot 0{,}16\cdot (0{,}84)^4{\small .}\)

Найдем, во сколько раз вероятность события "стрелок поразит ровно пять мишеней" больше вероятности события "стрелок поразит ровно четыре мишени":

\(\displaystyle \frac{P(\text{\scriptsize"стрелок поразил ровно пять мишеней"})}{P(\text{\scriptsize"стрелок поразил ровно четыре мишени из пяти"})}=\frac{(0{,}84)^5}{5\cdot 0{,}16\cdot (0{,}84)^4}=\frac{0{,}84}{5\cdot 0{,}16}=\frac{0{,}84}{ 0{,}8}=1{,}05{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 1{,}05{\small .}\)