Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Уравнение гиперболы по её положению (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображена гипербола \(\displaystyle f(x)=\frac{k}{x+b}{\small.}\) Найдите, при каком значении \(\displaystyle x\) значение функции равно \(\displaystyle 2{\small.}\)


\(\displaystyle f(\)
0,4
\(\displaystyle )=2\)
Решение

Чтобы найти точку, в которой \(\displaystyle f(x)\) равно \(\displaystyle 2\)

  • найдем неизвестные коэффициенты \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\) в уравнении гиперболы,
  • решим уравнение \(\displaystyle f(x)=2{\small.}\)


Найдем \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b{\small.}\)

Для этого составим и решим систему уравнений относительно \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b{\small.}\)

Из вида гиперболы видно, что гипербола \(\displaystyle y=\frac{k}{x+b}\) проходит через точки \(\displaystyle (-2;\, -4)\) и \(\displaystyle (2;\, 1){\small.}\)

Значит, 

  • если в уравнение гиперболы  \(\displaystyle y=\frac{k}{x+b}\) подставить \(\displaystyle \color{blue}{x=-2}\) и  \(\displaystyle \color{blue}{y=-4},\) то получаем первое верное равенство (первое уравнение на \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\)),
  • если в уравнение гиперболы  \(\displaystyle y=\frac{k}{x+b}\) подставить \(\displaystyle \color{green}{x=2}\) и  \(\displaystyle \color{green}{y=1},\) то получаем второе верное равенство (второе уравнение на \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\)).

Тогда получаем

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}\color{blue}{-4}&=\frac{k}{\color{blue}{-2}+b}{\small,}\\\color{green}{1}&=\frac{k}{\color{green}{2}+b}{\small.}\end{aligned}\right.\)

Решение данной системы уравнений \(\displaystyle k=3{,}2\) и \(\displaystyle b=1{,}2{\small.}\)


Тогда уравнение гиперболы имеет вид:

\(\displaystyle f(x)=\frac{3{,}2}{x+1{,}2}{\small.}\)


Необходимо определить, при каком значении \(\displaystyle x\) значение \(\displaystyle f(x)\) равно \(\displaystyle 2{\small.}\)

То есть при каком \(\displaystyle x\) верно равенство

\(\displaystyle 2=\frac{3{,}2}{x+1{,}2}{\small.}\)

Для \(\displaystyle x{ \small ,}\) не равных \(\displaystyle -1{,}2{ \small ,}\) можно домножить обе части уравнения на \(\displaystyle x+1{,}2{\small.}\) Получаем:

\(\displaystyle 2\cdot(x+1{,}2)=3{,}2{\small,}\)

\(\displaystyle x=\frac{3{,}2}{2}-1{,}2{\small,}\)

\(\displaystyle x=0{,}4{\small.}\)

Полученный \(\displaystyle x\) не равен \(\displaystyle -1{,}2{ \small .}\)

Значит, \(\displaystyle f(0{,}4)=2{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle f(0{,}4)=2{\small.}\)