Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 07 Первообразная (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график \(\displaystyle y = F(x)\)одной из первообразных некоторой функции \(\displaystyle f(x)\) и отмечены десять точек на оси абсцисс: \(\displaystyle x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5,\, x_6,\, x_7,\, x_8{\small.}\)В скольких из этих точек функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна?

3
Решение

Если \(\displaystyle F(x)\) – первообразная функции \(\displaystyle f(x){\small,}\) то

\(\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x){\small.}\)

Значит, \(\displaystyle f(x)\) – это производная \(\displaystyle F(x)\) и имеет место зависимость:

Поведение \(\displaystyle F(x)\) в окрестности точкиЗнак \(\displaystyle f(x)\) в точке
Если \(\displaystyle F(x)\) возрастает, то\(\displaystyle f(x)\ge 0\)
Если \(\displaystyle F(x)\) убывает, то \(\displaystyle f(x)\le 0\)


Посмотрим на поведение \(\displaystyle F(x)\) в окрестностях точек \(\displaystyle x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4,\,x_5,\,x_6,\,x_7,\,x_8{\small:}\)

Получаем:

ТочкиПоведение \(\displaystyle F(x)\) в окрестностиЗнак \(\displaystyle f(x)\) в точке
\(\displaystyle x_2,\,x_3,\,x_5,\,x_6,\,x_7\)\(\displaystyle F(x)\) возрастает \(\displaystyle \color{#009900}{\nearrow}\)\(\displaystyle f(x)\ge 0\)
\(\displaystyle x_1,\,x_4,\,x_8\)\(\displaystyle F(x)\) убывает \(\displaystyle \color{#0000FF}{\searrow}\)\(\displaystyle f(x)\le 0\)


Ни в одной из выделенных точек графика \(\displaystyle y=F(x)\) касательная не параллельна оси \(\displaystyle \rm OX{\small.}\) Значит, во всех этих точках \(\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)\,\cancel{=}\, 0{\small.}\)

То есть в таблице все знаки неравенств строгие:

ТочкиЗнак \(\displaystyle f(x)\) в точке
\(\displaystyle x_2,\,x_3,\,x_5,\,x_6,\,x_7\)\(\displaystyle f(x)> 0\)
\(\displaystyle x_1,\,x_4,\,x_8\)\(\displaystyle f(x)< 0\)


Значит, \(\displaystyle f(x)\) отрицательна в трех точках.

Ответ: \(\displaystyle 3{\small.}\)