Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 07 Первообразная (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график некоторой функции \(\displaystyle y=f(x){\small.}\) 

Функция \(\displaystyle F(x)=-x^3-27x^2-240x-8\) — одна из первообразных функции \(\displaystyle f(x){\small.}\) 

Найдите площадь закрашенной фигуры.

4
Решение

Поскольку в условии дана \(\displaystyle F(x){\small ,}\) первообразная \(\displaystyle f(x){\small,}\) то для вычисления площади закрашенной фигуры можно воспользоваться следующим фактом:

Правило

Если \(\displaystyle f(x)\) непрерывная функция и \(\displaystyle F(x)\) ее первообразная, то площадь \(\displaystyle \color{red}{S}\) под графиком (криволинейной трапеции) вычисляется по формуле:

\(\displaystyle \color{red}{S}=F(\color{blue}{b})-F(\color{green}{a}){\small.}\)

Посмотрим на рисунок, данный в условии задачи:

Получаем:

\(\displaystyle \color{red}{S}=F(\color{blue}{-8})-F(\color{green}{-10}){\small.}\)

Вычислим \(\displaystyle F(\color{blue}{-8})\) и \(\displaystyle F(\color{green}{-10}){\small : }\)

  • \(\displaystyle F(\color{blue}{-8})= -(\color{blue}{-8})^3-27\cdot(\color{blue}{-8})^2-240\cdot(\color{blue}{-8})-8=\)
    \(\displaystyle \kern{10em} =512-1728+1920-8=\color{blue}{696}{\small,}\)
  • \(\displaystyle F(\color{green}{-10})= -(\color{green}{-10})^3-27\cdot(\color{green}{-10})^2-240\cdot(\color{green}{-10})-8=\)
    \(\displaystyle \kern{10em} =1000-2700+2400-8=\color{green}{692}{\small.}\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \color{red}{S}=F(\color{blue}{-8})-F(\color{green}{-10})=\color{blue}{696}-\color{green}{692}=4{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 4{\small.}\)