Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Исследование функций с помощью графика производной (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график \(\displaystyle {y=f'\left(x\right)}\) – производной функции \(\displaystyle f\left(x\right){\small,}\) определённой на интервале \(\displaystyle \left(-2; 12\right){\small.}\) Найдите промежутки убывания функции \(\displaystyle f\left(x\right){\small.}\) В ответе укажите длину наибольшего из них.

6
Решение

Вспомним зависимость между знаком производной и поведением функции:

Знак производнойПоведение функции
 Если \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)> 0\) для любого \(\displaystyle x_0\in (a;\, b)\) то функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает на \(\displaystyle (a;\, b)\)
Если \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)< 0\) для любого \(\displaystyle x_0\in (a;\, b)\)

 то функция \(\displaystyle f(x)\) убывает на \(\displaystyle (a;\, b)\)

 

Найдем промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small.}\)

Отметим точки, в которых график пересекает ось \(\displaystyle \rm OX{\small,}\) то есть точки, где \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)= 0{\small : }\)

График разбился на интервалы, где \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)> 0\) и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)< 0{\small :}\)

Для интервалов знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) отметим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Найдем длину получившихся интервалов убывания функции:

Получаем, что длина наибольшего интервала убывания равна \(\displaystyle 6{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 6{\small.}\)

Замечание / комментарий

Слева и справа от точек, где \(\displaystyle f^{\prime}(x)\) равна нулю, производная меняет знак.

Значит, это точки экстремума.

А точки экстремума не включаются в промежутки возрастания или убывания функции.