Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Логарифмические выражения (свойства логарифмов - 2) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите значение выражения \(\displaystyle \log_{a} (a^5 b^3) ,\) если  \(\displaystyle \log_{a} b=3 {\small .}\)
 

\(\displaystyle \log_{a} (a^5 b^3) =\)

Решение

Из условия задачи \(\displaystyle a>0, b>0, a \, \cancel= \,1.\)

Упростим \(\displaystyle \log_{a} (a^5 b^3) {\small.} \)

Применим свойство логарифма:

Правило

\(\displaystyle \log_x (yz)=\log_x y+\log_x z\)

\(\displaystyle (y>0, z>0, x>0,x \, \cancel= \,1 )\)

Получаем:

\(\displaystyle \log_{a} (a^5 b^3)=\log_{a} a^5+\log_{a} b^3 {\small.}\)


Найдем значение первого слагаемого:

\(\displaystyle \log_{a} a^5=5 {\small.}\)


Упростим второе слагаемое \(\displaystyle \log_{a} b^3 {\small.}\)Применим свойство логарифма степени:

Правило

\(\displaystyle \log_x y^{\color{red}k}=\color{red}k \log_x y\)

\(\displaystyle (y>0, x>0,x \, \cancel= \,1 )\)

Получаем:

 \(\displaystyle \log_{a} b^3 =3\log_{a} b{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \log_{a} a^5+\log_{a} b^3=5+3\log_{a} b{\small.}\)


Подставим данное в условии значение \(\displaystyle \log_{a} b=3 {\small :}\)

\(\displaystyle 5+3\log_{a} b=5+3 \cdot 3=14{\small.}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \log_{a} (a^5 b^3)=\log_{a} a^5+\log_{a} b^3=5+3\log_{a} b=5+3 \cdot 3=14 {\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle 14 {\small.} \)