Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Логарифмические выражения (свойства логарифмов - 2) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 4}{\log_{9} 4}= \)

Решение

В условии \(\displaystyle \frac{ \log_{3} 4}{\log_{9} 4}\) логарифмы имеют разные основания, однако они связаны друг с другом:

\(\displaystyle 9=3^2{\small,}\)

то есть 

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 4}{\log_{9} 4}=\frac{ \log_{3} 4}{\log_{3^2} 4} {\small.}\)


Вынесем показатель степени из-под логарифма, применив свойство:

Правило

\(\displaystyle \log_{a^{\color{red}k}} b=\frac{1}{\color{red}k} \log_a b\)

\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1, k\, \cancel=\, 0 )\)

Получаем:

\(\displaystyle \log_{3^{\color{red}2}} 4=\frac{1}{\color{red}2}\log_3 4 {\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 4}{\log_{3^2} 4}=\frac{ \log_{3} 4}{\frac{1}{2}\log_{3} 4}=\frac{ 2\log_{3} 4}{\log_{3} 4}{\small.}\)


Сократим полученную дробь:

\(\displaystyle \frac{ 2 \,\cancel{\log_{3} 4}}{\cancel{\log_{3} 4}}=2{\small.}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 4}{\log_{9} 4}=\frac{ \log_{3} 4}{\log_{3^2} 4}=\frac{ \log_{3} 4}{\frac{1}{2}\log_{3} 4}=\frac{ 2\log_{3} 4}{\log_{3} 4}=2{\small .}\) 


Ответ: \(\displaystyle 2 {\small.} \)