Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 02 Максимум и минимум (логарифмические функции)

Задание

Найдите точку минимума функции \(\displaystyle f(x)=3x-\ln\left(x+3\right)^3\).

\(\displaystyle x_{min}=\)
-2
Решение

Запишем область определения для функции \(\displaystyle f(x)=3x-\ln\left(x+3\right)^3{\small.}\)

Так как \(\displaystyle \ln((x+3)^3)\) определен только тогда, когда \(\displaystyle (x+3)^3>0{\small,}\) то область определения имеет вид

\(\displaystyle x > -3{\small.}\)

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=3x-\ln\left(x+3\right)^3{\small.}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(3x-\ln\left(x+3\right)^3\right)^{\prime}=3-\frac{3}{x+3}{\small.}\)

2) Найдем интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3-\frac{3}{x+3}{\small.}\)

\(\displaystyle {\left(-3;\, -2\right)}{\small,}\) \(\displaystyle {\left(-2;\,+\infty\right)}\) – интервалы знакопостоянства \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3-\frac{3}{x+3}{\small.}\)

3) Определим знаки производной на получившихся интервалах.

  • на интервале \(\displaystyle \color{green}{\left(-2;\, +\infty \right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(-3;\,-2\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=3x-\ln\left(x+3\right)^3{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


Схематически изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Значит, \(\displaystyle x=-2\) – точка минимума функции \(\displaystyle f(x)=3x-\ln\left(x+3\right)^3{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle -2{\small.}\)