Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Буквенные выражения (иррациональные)

Задание

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{(4a)^{3,5}}{a^{1,5} (\sqrt a)^{4}}\) при \(\displaystyle a > 0{\small .}\) 

Решение

Раскроем скобки, применив свойство \(\displaystyle (ab)^x=a^x b^x{\small : }\)

\(\displaystyle \frac{(4a)^{3,5}}{a^{1,5} (\sqrt a)^{4}}=\frac{4^{3,5}a^{3,5}}{a^{1,5} (\sqrt a)^{4}}{\small .}\)


Представим корень в виде степени с дробным показателем:

\(\displaystyle \frac{4^{3,5}a^{3,5}}{a^{1,5} (\sqrt a)^{4}}=\frac{4^{3,5}a^{3,5}}{a^{1,5} \, (\sqrt[\color{blue}2]a)^4}=\frac{4^{3,5}a^{3,5}}{a^{1,5} a^{\frac{4}{\color{blue}2}}}=\frac{4^{3,5}a^{3,5}}{a^{1,5} a^{{2}}}{\small .}\)


В знаменателе применим свойство \(\displaystyle a^x\cdot a^y=a^{x+y}{\small .}\)
Получаем:

\(\displaystyle \frac{4^{3,5}a^{3,5}}{a^\color{blue}{1,5} a^\color{blue}{{{2}}}}=\frac{4^{3,5}a^{3,5}}{a^\color{blue}{{1,5+{2}}}}=\frac{4^{3,5}a^{3,5}}{a^\color{blue}{{{3,5}}}}{\small .}\)

Сократив дробь, получаем ответ:

\(\displaystyle \frac{4^{3,5}\,\cancel{a^{3,5}}}{\cancel{a^{3,5}}}=4^{3,5}=4^{\frac{7}{2}}=\sqrt{4^{7}}=(\sqrt4)^{7}=2^{7}=128{\small .}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \frac{(4a)^{3,5}}{a^2 \sqrt a}=\frac{4^{3,5}a^{3,5}}{a^2 a^{0,5}}=\frac{4^{3,5}a^{3,5}}{a^{3,5}}=4^{3,5}=4^{\frac{7}{2}}=\sqrt{4^{7}}=2^{7}=128{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 128 {\small.} \)