Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 01 Физический смысл производной

Задание

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(\displaystyle x(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 -43t + 4 \) (где \(\displaystyle x \) — расстояние от точки отсчета в метрах, \(\displaystyle t \) — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна \(\displaystyle 2\)м/с?

Решение

По условию \(\displaystyle x(t)= \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 -43t + 4{\small.}\)

Скорость – это производная от расстояния \(\displaystyle x(t)\) по времени \(\displaystyle t{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}&x^{\prime}(t)=\left( \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 -43t + 4\right)^{\prime}=\left( \frac{1}{3}t^3\right)^{\prime}-\left(2t^2\right)^{\prime}-(43t)^{\prime}+(4)^{\prime}=\\[10px]&=\left(\frac{1}{3}\right)\left(t^3\right)^{\prime}-2\left(t^2\right)^{\prime}-43(t)^{\prime}+(4)^{\prime}=\frac{1}{3}\cdot3t^2-2\cdot2t-43\cdot1+0=t^2-4t-43{\small.}\end{aligned}\)

Таким образом, функция скорости имеет вид

\(\displaystyle x^{\prime}(t)=t^2-4t-43{\small.}\)


Требуется найти момент времени, в который скорость равна \(\displaystyle \color{blue}{2}\)м/с. То есть найти, при каком \(\displaystyle t\) выполняется \(\displaystyle x^{\prime}(t)=\color{blue}{2}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle x^{\prime}(t)=t^2-4t-43{\small,}\) то необходимо решить уравнение \(\displaystyle t^2-4t-43=2{\small.}\) 

\(\displaystyle t_1=9\) и \(\displaystyle t_2=-5\) корни уравнения \(\displaystyle t^2-4t-43=2\)

То есть материальная точка имеет скорость \(\displaystyle 2\)м/с через \(\displaystyle t_1=9\)c.

Ответ: \(\displaystyle 9\)с.