Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Прикладные задачи с использованием тригонометрических функций

Задание

Катер должен пересечь реку шириной \(\displaystyle L = 100\) м и со скоростью течения \(\displaystyle u =0{,}5\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(\displaystyle t = \frac{L}{u}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha{ \small ,}\) где \(\displaystyle \alpha \) – острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\displaystyle \alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше \(\displaystyle 200\) с?

 
45
 
Решение

По условию даны скорость течения \(\displaystyle \color{green}{u}\) м/с и ширина реки \(\displaystyle \color{red}{L}\) м.

Подставим данные значения в формулу для нахождения времени

\(\displaystyle t = \frac{\color{red}{L}}{\color{green}{u}}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha {\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle \color{green}{u}= \color{green}{0{,}5}\) и \(\displaystyle \color{red}{L}=\color{red}{100}{ \small ,}\)  получаем

\(\displaystyle t = \frac{\color{red}{100}}{\color{green}{0{,}5}}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha { \small ,}\)

\(\displaystyle t = 200\cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha {\small .}\)


По условию должно выполняться ограничение \(\displaystyle t \leq 200{\small .}\)

Значит, выполняется неравенство

\(\displaystyle 200\cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 200{\small .}\)

Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle {200}>0{\small : }\)

\(\displaystyle 200\cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 200 \,|\, : (\color{red}{200}){ \small ,}\)

\(\displaystyle {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 1{\small .}\)


По условию \(\displaystyle \alpha \) – острый угол. Значит, \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)

Решим неравенство  \(\displaystyle {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 1\) на промежутке \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)

\(\displaystyle 45^{\circ}\leq \alpha <90^{\circ} \) – решение неравенства \(\displaystyle {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 1\) на  промежутке \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)

Тогда наименьший острый угол, при котором выполняется данное ограничение, составляет \(\displaystyle 45^{{\circ}}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 45^{\circ}{\small .} \)