Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Прикладные задачи с использованием тригонометрических функций

Задание

Небольшой мячик бросают под острым углом \(\displaystyle \alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли.  Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле \(\displaystyle L=\frac{{v_0^2 }}{g}\sin 2\alpha\) (м), где \(\displaystyle v_0=20\) м/с – начальная скорость мячика, а \(\displaystyle g\) – ускорение свободного падения (считайте  \(\displaystyle g=10\) м/с2). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной \(\displaystyle 20\) м?

 
15
 
Решение

По условию даны начальная скорость мячика \(\displaystyle \color{blue}{v_0}\) и постоянная \(\displaystyle \color{green}{g}{\small .}\)

Подставим данные значения в формулу для расстояния, пролетаемого мячиком, 

\(\displaystyle L=\frac{{\color{blue}{v_0}^2 }}{\color{green}{g}}\sin 2\alpha {\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle \color{blue}{v_0}=\color{blue}{20}\) и \(\displaystyle \color{green}{g}=\color{green}{10}{ \small ,}\) то получаем:

\(\displaystyle L=\frac{{\color{blue}{20}^2 }}{\color{green}{10}}\sin 2\alpha { \small ,}\)

\(\displaystyle L=\frac{400 }{10}\sin 2\alpha { \small ,}\)

\(\displaystyle L={40}\cdot \sin 2\alpha {\small .}\)


По условию мячик перелетит реку шириной \(\displaystyle 20\) м. Значит, должно выполняться ограничение 

\(\displaystyle L \geq 20 {\small .}\) 

Значит, выполняется неравенство

\(\displaystyle {40}\cdot \sin 2\alpha \geq 20{\small .}\)

Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle {40}{\small : }\)

\(\displaystyle {40}\cdot \sin 2\alpha \geq 20 \,|\, : \color{red}{ 40}{ \small ,}\)

\(\displaystyle \sin 2\alpha \geq \frac{1}{2}{\small .}\)


По условию \(\displaystyle \alpha \) – острый угол. Значит, \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)

Сделаем замену \(\displaystyle \varphi=2\alpha {\small .}\) Получаем неравенство \(\displaystyle \sin \varphi \geq \frac{1}{2} {\small .}\)

Решим поэтапно получившееся неравенство:

  1. Сначала найдем ограничения на \(\displaystyle \varphi\) при \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)
  2. Потом решим неравенство \(\displaystyle \sin \varphi \geq \frac{1}{2} \) при полученных ограничениях на \(\displaystyle \varphi {\small .}\)
  3. Далее выясним, какие значения принимает \(\displaystyle \alpha \) на множестве решений неравенства \(\displaystyle \sin \varphi \geq \frac{1}{2} {\small .}\)

Получаем:

Ограничение на \(\displaystyle \varphi\) имеет вид \(\displaystyle 0^{\circ} < \varphi < 180^{\circ} \)

Решение неравенства \(\displaystyle \sin \varphi \geq \frac{1}{2} \) на промежутке \(\displaystyle 0^{\circ} < \varphi < 180^{\circ} \)  имеет вид \(\displaystyle 30^{\circ} \leq \varphi \leq 150^{\circ} \)

\(\displaystyle \alpha \) принимает значения \(\displaystyle 15^{\circ}\leq \alpha \leq 75^{\circ} \)  при \(\displaystyle 30^{\circ} \leq \varphi \leq 150^{\circ} \)

Тогда наименьший острый угол \(\displaystyle \alpha{ \small ,}\) при котором выполняется данное ограничение, составляет  \(\displaystyle 15^{\circ}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 15^{\circ}{\small .} \)