Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Прикладные задачи с использованием тригонометрических функций

Задание

Небольшой мячик бросают под острым углом \(\displaystyle \alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой  \(\displaystyle H=\frac{{v_0^2 }}{{4g}}(1 - \cos 2\alpha ){ \small ,}\) где \(\displaystyle v_0 = 20\) м/с – начальная скорость мячика, а \(\displaystyle g\) – ускорение свободного падения (считайте \(\displaystyle g=10\) м/с2). При каком наименьшем значении угла \(\displaystyle \alpha\) (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой \(\displaystyle 4\) м на расстоянии \(\displaystyle 1\) м?

 
30
 
Решение

По условию даны начальная скорость мячика \(\displaystyle \color{green}{v_0}\) и ускорение свободного падения  \(\displaystyle \color{blue}{g}{\small .}\)

Подставим данные значения в формулу для нахождения высоты полёта

\(\displaystyle H=\frac{{\color{green}{v_0}^2 }}{{4\color{blue}{g}}}(1 - \cos 2\alpha) {\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle \color{green}{v_0}=\color{green}{20}\) и \(\displaystyle \color{blue}{g}=\color{blue}{10}{ \small ,}\) то получаем:

\(\displaystyle H=\frac{{\color{green}{20}^2 }}{{4\cdot \color{blue}{10}}}(1 - \cos 2\alpha) { \small ,}\)

\(\displaystyle H=\frac{400}{40}(1 - \cos 2\alpha) { \small ,}\)

\(\displaystyle H={10}\cdot (1 - \cos 2\alpha) {\small .}\)


По условию мячик пролетит над стеной высотой \(\displaystyle 4\) м на расстоянии \(\displaystyle 1\) м. Значит, должно выполняться ограничение \(\displaystyle H \geq 5{\small .}\)

Следовательно, выполняется неравенство

\(\displaystyle {10}\cdot (1 - \cos 2\alpha) \geq 5{\small .}\)

Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle {10}{\small : }\)

\(\displaystyle {10}\cdot (1 - \cos 2\alpha) \geq 5 \,|\, : (\color{red}{10}){ \small ,}\)

\(\displaystyle 1-\cos2\alpha \geq \frac{5}{10}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1-\cos2\alpha \geq \frac{1}{2}{\small .}\)

Выразим отсюда косинус: 

\(\displaystyle -\cos2\alpha \geq \frac{1}{2} -1{ \small ,}\)

\(\displaystyle -\cos2\alpha \geq -\frac{1}{2} { \small ,}\)

\(\displaystyle \cos2\alpha \leq \frac{1}{2} {\small .}\)


По условию \(\displaystyle \alpha \) – острый угол. Значит, \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)

Сделаем замену \(\displaystyle \varphi=2\alpha {\small .}\) Получаем неравенство \(\displaystyle \cos \varphi \leq \frac{1}{2} {\small .}\)

Решим поэтапно получившееся неравенство:

  1. Сначала найдем ограничения на \(\displaystyle \varphi\) при \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)
  2. Потом решим неравенство \(\displaystyle \cos \varphi \leq \frac{1}{2} \) при полученных ограничениях на \(\displaystyle \varphi {\small .}\)
  3. Далее выясним, какие значения принимает \(\displaystyle \alpha \) на множестве решений неравенства \(\displaystyle \cos \varphi \leq \frac{1}{2} {\small .}\)

Получаем:

Ограничение на \(\displaystyle \varphi\) имеет вид \(\displaystyle 0^{\circ} < \varphi < 180^{\circ} \)

Решение неравенства \(\displaystyle \cos \varphi \leq \frac{1}{2} \) на промежутке \(\displaystyle 0^{\circ} < \varphi < 180^{\circ} \)  имеет вид \(\displaystyle 60^{\circ} \leq \varphi < 180^{\circ} \)

\(\displaystyle \alpha \) принимает значения \(\displaystyle 30^{\circ}\leq \alpha < 90^{\circ} \)  при \(\displaystyle 30^{\circ} \leq \varphi < 180^{\circ} \)

Тогда наименьший угол \(\displaystyle \alpha { \small ,}\) при котором выполняется данное ограничение, составляет \(\displaystyle 30^{{\circ}}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 30^{\circ}{\small .} \)