Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Прикладные задачи с использованием степеней или логарифмов

Задание

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \(\displaystyle pV^a = const{\small,}\) где \(\displaystyle p\) (Па)  – давление в газе, \(\displaystyle V\) – объeм газа в кубических метрах, \(\displaystyle a\) – положительная константа. При каком наименьшем значении константы \(\displaystyle a\) уменьшение в пять раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в \(\displaystyle 625\) раз?

4
Решение

Пусть \(\displaystyle p_1\) и \(\displaystyle V_1\) – первоначальные давление и объём газа, \(\displaystyle p_2\) и \(\displaystyle V_2\) – конечные давление и объём газа.

Переведем на язык алгебры фразу "При каком наименьшем значении константы \(\displaystyle a\) уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в \(\displaystyle 625\) раз?"

Фраза означает, что

\(\displaystyle V_2= \frac{V_1}{5}\) и \(\displaystyle p_2\geq 625p_1{\small ,} \)

или, поскольку давление положительно, 

\(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}=5 \) и \(\displaystyle \frac{p_2}{p_1}\geq 625{\small .} \)

При этом нужно найти минимальное значение \(\displaystyle a{ \small .} \)


Поскольку всегда выполняется \(\displaystyle pV^a = const{ \small ,} \) то также 

\(\displaystyle p_1V_1^a = const \)   и   \(\displaystyle p_2V_2^a = const {\small ,}\) то

\(\displaystyle p_1V_1^a=p_2V_2^a{\small.}\)

Найдем отношение \(\displaystyle \frac{p_2}{p_1}{\small.}\) Тогда

\(\displaystyle \frac{p_2}{p_1}=\frac{V_1^a}{V_2^a},\)

\(\displaystyle \frac{p_2}{p_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^a{\small.}\)


Так как \(\displaystyle \color{green}{\frac{V_1}{V_2}}=\color{green}{5}{ \small ,}\) то

\(\displaystyle \frac{p_2}{p_1}=\color{green}{5}^a{\small.}\)

Поскольку \(\displaystyle \frac{p_2}{p_1}\geq 625{ \small ,}\) то

\(\displaystyle 5^a \geq 625{\small.}\)


Решим это неравенство. Так как \(\displaystyle 625=5^4,\) то

\(\displaystyle 5^a\geq 5^4 {\small.}\)

Отсюда, поскольку \(\displaystyle 5>1{ \small ,}\) получаем

\(\displaystyle a\geq 4 {\small.}\)

Значит, наименьшее допустимое значение \(\displaystyle a \)  равно \(\displaystyle 4 {\small.}\)

Ответ:  \(\displaystyle 4{\small.}\)