Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 02 Квадратичная функция в прикладных задачах

Задание

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой \(\displaystyle y = ax^2 + bx\), где \(\displaystyle a = - \frac{1}{{100}} \) м-1, \(\displaystyle b=1\) – постоянные параметры, \(\displaystyle x\) (м) – смещение камня по горизонтали, \(\displaystyle y\) (м) – высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой \(\displaystyle 8\) м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее \(\displaystyle 1\) метра?

90
Решение

По условию задачи, траектория полeта камня описывается формулой \(\displaystyle y = \color{green}{a}x^2 + \color{magenta}{b}x\). Подставим данные значения параметров \(\displaystyle \color{green}{a} = \color{green}{- \frac{1}{{100}}}, \color{magenta}{b}=\color{magenta}{1}{:}\)

\(\displaystyle y = \color{green}{- \frac{1}{{100}}}x^2 + \color{magenta}{1}\cdot x,\)

\(\displaystyle y = - \frac{1}{{100}}x^2 + x.\)


\(\displaystyle x\) (м) – это расстояние от крепостной стены до машины.

И на расстоянии \(\displaystyle x\) (м) камень должен пролетать над стеной высотой \(\displaystyle 8 \) м на высоте не менее \(\displaystyle 1\) м.

То есть на высоте над землей \(\displaystyle \color{red}{y(x)}\) не менее \(\displaystyle \color{blue}{ 9}\) м.

Записывая это для высоты в виде неравенства, получаем:

\(\displaystyle \color{red}{y(x)}\geq \color{blue}9.\) 

Поскольку 

\(\displaystyle \color{red}{y} = \color{red}{- \frac{1}{{100}}x^2 + x},\)

то, подставляя, получаем неравенство

\(\displaystyle \color{red}{- \frac{1}{{100}}x^2 + x}\geq \color{blue}9.\)  


Решим неравенство методом интервалов.

Преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:

\(\displaystyle - \frac{1}{{100}}x^2 + x\geq 9,\)  

\(\displaystyle - \frac{1}{{100}}x^2 + x-9\geq 0.\)  

Домножим обе части неравенства на \(\displaystyle - 100{\small .}\) Поскольку \(\displaystyle -100<0{ \small ,} \) то знак неравенства меняется на противоположный:

\(\displaystyle x^2\ - 100x + 900 \leq 0.\)   

Найдем корни уравнения \(\displaystyle x^2\ - 100x + 900 = 0.\)   

\(\displaystyle x_1=90\) и \(\displaystyle x_2=10\) корни уравнения \(\displaystyle x^2\ - 100x + 900 = 0\)

Отметим найденные корни на числовой прямой, закрашивая их (так как знак неравенства нестрогий):

Получаем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;10){ \small ,} \, (10;90)\) и \(\displaystyle (90;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= x^2\ - 100x + 900 \) на каждом из данных интервалов.

Знак функции \(\displaystyle f(x)= x^2\ - 100x + 900 \) 

Расставим знаки на интервалах:

Тогда неравенство \(\displaystyle x^2\ - 100x + 900 \leq 0\) имеет решение

\(\displaystyle 10\leq x \leq 90.\)


При полученных значениях \(\displaystyle x\) камни будут пролетать на высоте не менее \(\displaystyle 1\) метра над стеной.

Тогда наибольшее допустимое значение \(\displaystyle x\) составит \(\displaystyle 90\) метров. 

Ответ: \(\displaystyle 90\) метров.