Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 02 Квадратичная функция в прикладных задачах

Задание

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы:\(\displaystyle T(t)=T_0+bt+at^2 , \) где \(\displaystyle t\) – время в минутах, \(\displaystyle T_0=1400 К, a=−10 \) К/мин2, \(\displaystyle b=200 \) К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше \(\displaystyle 1760 \) К  прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

2
 
Решение

По условию задачи, зависимость температуры от времени работы описывается формулой

\(\displaystyle T(t)=\color{blue}{T_0}+\color{magenta}{b}t+\color{green}{a}t^2. \)

Подставим данные значения параметров \(\displaystyle \color{blue}{T_0} = \color{blue}{1400},\) \(\displaystyle \color{green}{a} = \color{green}{- 10}\) и \(\displaystyle \color{magenta}{b}=\color{magenta}{200}{:}\)

\(\displaystyle T(t)=\color{blue}{1400}+\color{magenta}{200}\cdot t+\color{green}{(-10)}\cdot t^2, \)

\(\displaystyle T(t)={1400}+200 t-10 t^2. \)


По условию должно выполняться ограничение \(\displaystyle T \leq 1760 .\)

Значит, выполняется неравенство

\(\displaystyle {1400}+200 t-10 t^2\leq 1760. \)


Решим это неравенство методом интервалов.

Преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:

\(\displaystyle {1400}+200 t-10 t^2\leq 1760 , \)

\(\displaystyle {1400}+200 t-10 t^2-1760 \leq 0, \)

\(\displaystyle -10 t^2+200 t-360 \leq 0.\)  

Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle - 10.\) Поскольку \(\displaystyle -10<0,\) то знак неравенства меняется на противоположный:

\(\displaystyle -10 t^2+200 t-360 \leq 0 \,| :(\color{red}{ -10}).\)  

\(\displaystyle t^2-20 t+36 \geq 0.\)  

Найдем корни уравнения \(\displaystyle t^2-20 t+36 = 0.\)  

\(\displaystyle t_1=18\) и \(\displaystyle t_2=2\) корни уравнения \(\displaystyle t^2-20 t+36 = 0\)

Отметим найденные корни на числовой прямой, закрашивая их (так как знак неравенства нестрогий):

Получаем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;18)\) и \(\displaystyle (18;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(t)= t^2-20 t+36\)  на каждом из данных интервалов.

Знак функции \(\displaystyle f(t)= t^2-20 t+36 \) 

Расставим знаки на интервалах:

Тогда неравенство \(\displaystyle t^2-20 t+36 \geq 0\)   имеет решение

\(\displaystyle t\in (-\infty ;2]\cup [18;+\infty ).\)


При полученных значениях \(\displaystyle t\) температура нагревательного элемента не будет превосходить \(\displaystyle 1760\) К.

Через \(\displaystyle 2\) минуты после начала работы прибора температура нагревательного элемента станет равной \(\displaystyle 1760\) К и при дальнейшей эксплуатации превзойдет значение в \(\displaystyle 1760\) К. Тогда наибольшее допустимое значение \(\displaystyle t\) составляет \(\displaystyle 2\) мин. 

Ответ: \(\displaystyle 2\) мин.