Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 02 Квадратичная функция в прикладных задачах

Задание

Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна  \(\displaystyle P= m\left( {\frac{{v^2 }}{L} - g} \right)\), где \(\displaystyle m\) – масса воды в килограммах, \(\displaystyle v\) – скорость движения ведeрка в м/с, \(\displaystyle L\) – длина верeвки в метрах, \(\displaystyle g\) – ускорение свободного падения (считайте   \(\displaystyle g=10\) м/с2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна \(\displaystyle 40\) см? Ответ дайте в м/с.

2
Решение

По условию дана длина веревки \(\displaystyle \color{blue}{L}\) и ускорение свободного падения \(\displaystyle \color{green}{ g}.\)

Подставим данные значения в формулу для силы давления воды в верхней точке   

\(\displaystyle P= m\left( {\frac{{v^2 }}{\color{blue}{L}} - \color{green}{ g}} \right).\) 

Поскольку \(\displaystyle \color{blue}{ L}=40 \text{ см}=\color{blue}{0{,}4} \) метра и \(\displaystyle \color{green}{ g}=\color{green}{ 10},\) то получаем:

\(\displaystyle P= m\left( {\frac{{v^2 }}{\color{blue}{0{,}4}} - \color{green}{ 10}} \right).\) 


По условию сила давления воды в верхней точке должна быть неотрицательна. Значит, должно выполняться ограничение \(\displaystyle P \geq 0 .\)

Значит, выполняется неравенство

\(\displaystyle m\left( {\frac{{v^2 }}{\color{blue}{0{,}4}} - \color{green}{ 10}} \right) \geq 0 .\) 


Решим это неравенство.

Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle m.\) Так как \(\displaystyle m >0,\) то знак неравенства сохраняется без изменений. Получаем:

\(\displaystyle m\left( {\frac{{v^2 }}{0{,}4} - 10} \right) \geq 0 \,|\, :\color{red}{m} ,\)

\(\displaystyle {\frac{{v^2 }}{0{,}4} - 10} \geq 0 .\)

Домножим обе части неравенства на положительное число:\(\displaystyle 0{,}4 :\)

\(\displaystyle {\frac{{v^2 }}{0{,}4} } - 10\geq 0 \,|\, \cdot \color{red}{0{,}4} ,\)

\(\displaystyle {v^2 } -4 \geq 0 .\)

Разложим на множители левую часть неравенства как разность квадратов:

\(\displaystyle v^2 - 2^2 \geq 0,\)  

\(\displaystyle (v-2)(v+2)\geq 0.\)  

Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle v+2.\) Так как \(\displaystyle v+2 >0,\) то знак неравенства сохраняется без изменений. Получаем:

\(\displaystyle (v-2)(v+2)\geq 0 \,|\, : \, (\color{red}{v+2}) ,\)  

\(\displaystyle v-2\geq 0 ,\)  

\(\displaystyle v\geq 2 .\)  

Тогда наименьшее допустимое значение \(\displaystyle v\) составит \(\displaystyle 2\) метра в секунду. 

Ответ: \(\displaystyle 2\) м/с.