Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 01 Числовые выражения (квадратные корни)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \left(\sqrt{38\frac {2}{5}} - \sqrt{21\frac {3}{5}}\right) : \sqrt{\frac {3}{320}}=\)

Решение

Решение 1.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби и заменим деление умножением на обратное число:

\(\displaystyle\left(\sqrt{38\frac {2}{5}} - \sqrt{21\frac {3}{5}}\right) : \sqrt{\frac {3}{320}}=\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}{\small.}\)

Разложим числа \(\displaystyle 192{ \small ,}\)  \(\displaystyle 108\) и  \(\displaystyle 320\) в числителях дробей на множители так, чтобы из одного множителя корень извлекался нацело. И затем вынесем множители из-под корня:

\(\displaystyle\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}=\left(\sqrt{\frac {64\cdot3}{5}} - \sqrt{\frac {36\cdot3}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {64\cdot5}{3}}=\) 

\(\displaystyle=\left(8\sqrt{\frac {3}{5}} - 6\sqrt{\frac {3}{5}}\right) \cdot 8\sqrt{\frac {5}{3}} {\small.}\)

 

В скобках вычитаются одинаковые корни – выполним это действие, а затем оставшееся умножение:

\(\displaystyle\left(8\sqrt{\frac {3}{5}} - 6\sqrt{\frac {3}{5}}\right) \cdot 8\sqrt{\frac {5}{3}}=2\sqrt{\frac {3}{5}} \cdot 8\sqrt{\frac {5}{3}}=16 \sqrt{\frac {3}{5} \cdot \frac {5}{3}}=16\sqrt{1}=16{\small.}\)
 

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\left(\sqrt{38\frac {2}{5}} - \sqrt{21\frac {3}{5}}\right) : \sqrt{\frac {3}{320}}=\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}=\\=\left(8\sqrt{\frac {3}{5}} - 6\sqrt{\frac {3}{5}}\right) \cdot 8\sqrt{\frac {5}{3}}=2\sqrt{\frac {3}{5}} \cdot 8\sqrt{\frac {5}{3}}=16\sqrt{1}=16{\small.}\end{aligned}\)


Ответ: \(\displaystyle 16 {\small.} \)

 

Решение 2.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби и заменим деление умножением на обратное число:

\(\displaystyle\left(\sqrt{38\frac {2}{5}} - \sqrt{21\frac {3}{5}}\right) : \sqrt{\frac {3}{320}}=\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}{\small.}\)


Раскроем скобки:

\(\displaystyle\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}=\sqrt{\frac {192}{5}} \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}- \sqrt{\frac {108}{5}}\cdot \sqrt{\frac {320}{3}}{\small.}\)

Произведение двух корней одной степени равно корню из произведения их подкоренных выражений. Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\sqrt{\frac {192}{5}} \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}- \sqrt{\frac {108}{5}}\cdot \sqrt{\frac {320}{3}}=\sqrt{\frac {192\cdot320}{5\cdot3}} - \sqrt{\frac {108\cdot320}{5\cdot3}}=\\[10px]=\sqrt{4096}- \sqrt{2304}=64-48=16{\small.}\end{aligned}\)
 

Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \begin{aligned}\left(\sqrt{38\frac {2}{5}} - \sqrt{21\frac {3}{5}}\right) : \sqrt{\frac {3}{320}}=\left(\sqrt{\frac {192}{5}} - \sqrt{\frac {108}{5}}\right) \cdot \sqrt{\frac {320}{3}}=\\=\sqrt{\frac {192\cdot320}{5\cdot3}} - \sqrt{\frac {108\cdot320}{5\cdot3}}=\sqrt{4096}- \sqrt{2304}=64-48=16{\small.}\end{aligned}\)


Ответ: \(\displaystyle 16 {\small.} \)