Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Площадь поверхности прямоугольных многогранников

Задание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы прямые.

94
Решение

Достроим заданный многогранник до прямоугольного параллелепипеда и обозначим измерения:


Посчитаем площадь поверхности большого параллелепипеда \(\displaystyle S_1{ \small :} \)

Для этого вычтем из площади поверхности всего параллелепипеда площадь фигур, закрашенным красным.

Поскольку измерения параллелепипеда равны \(\displaystyle 3{ \small ,}\, 5\) и \(\displaystyle 4{ \small ,} \) а измерения красных фигур равны \(\displaystyle \color{red}{ 2}{ \small ,}\,\color{red}{ 1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ 2}{ \small ,} \) то искомая площадь поверхности равна

\(\displaystyle S_1=2\cdot 3\cdot 5+2\cdot 3\cdot 4+2\cdot 5\cdot 4-\color{red}{ 2}\cdot \color{red}{ 1}-\color{red}{ 2}\cdot \color{red}{ 2}-\color{red}{ 1}\cdot \color{red}{ 2}=86{\small .} \)


Посчитаем площадь поверхности малого параллелепипеда \(\displaystyle S_2{\small : } \)

Для этого сложим площади фигур, закрашенных зеленым.

Поскольку измерения параллелепипеда равны \(\displaystyle 2{ \small ,}\, 1\) и \(\displaystyle 2{ \small ,} \) то искомая площадь поверхности равна

\(\displaystyle S_1=2\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 2=8{\small .} \)

Значит, площадь поверхности \(\displaystyle S \) заданного многогранника равна

\(\displaystyle S=S_1+S_2=86+8=94{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 94{\small .} \)