Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Онлайн-урок по 17 задаче (кредит)

Задание

\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке на сумму \(\displaystyle 715\) тысяч рублей на \(\displaystyle n+1\) месяц. Условия возврата таковы:

  • \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle n\)-й долг должен быть на \(\displaystyle 35\) тысяч рублей меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
  • к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle n+1\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

На \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle n\)-го месяца долг составит \(\displaystyle 50\) тысяч рублей.

Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит \(\displaystyle 1561{,}6\) тысяч рублей.

Найдите, под какой процент был взят кредит и \(\displaystyle n{\small .}\)

\(\displaystyle p\%=\)\(\displaystyle \%\)

\(\displaystyle n=\).

Решение

Напомним обозначения в задаче.

Кредит был взят на \(\displaystyle n+1\) месяц под \(\displaystyle p\) процентов в месяц.

Обозначим за \(\displaystyle x=\frac{p}{100}{\small .}\)

Построим таблицу ежемесячных выплат.

Сначала поймем как формируются выплаты в каждом месяце.

Для этого разберем первый шаг:

  • \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%\), то есть долг стал \(\displaystyle 715+\frac{p}{100}\cdot 715=(1+x)\cdot 715{\small ,}\)
  • со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
  • \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle n\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle 35\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 715-35\) тысяч рублей.

Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 715\) тысяч рублей до \(\displaystyle 715-35\) тысяч рублей, необходимо:

  1. выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle x\cdot 715 {\small ; }\)
  2. выплатить \(\displaystyle 35\) тысяч рублей.

Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle 35\) тысяч рублей:

\(\displaystyle x\cdot 715+35{\small .}\)

Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:

начисленные проценты+\(\displaystyle 35\) тысяч рублей.

Составим таблицу выплат:
 

ШагДолгПроцентыВыплаты
 

 

 

\(\displaystyle 715\)
  
1

 

 

\(\displaystyle 715-35\)

\(\displaystyle \color{blue}{x\cdot 715}\)

\(\displaystyle \color{blue}{x\cdot 715}+35\)
2

 

 

\(\displaystyle 715-2\cdot 35\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(715-35)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(715-35)}+35\)
3

 

 

\(\displaystyle 715-3\cdot 35\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(715-2\cdot 35)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(715-2\cdot 35)}+35\)
\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)
n

 

 

\(\displaystyle \color{green}{715-n\cdot 35}\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(715-(n-1)\cdot 35)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(715-(n-1)\cdot 35)}+35\)
n+1

 

 

\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(715-n\cdot 35)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(715-n\cdot 35)}+\color{green}{715-n\cdot 35}\)


По условию известно, что в \(\displaystyle n\) месяце долг составляет \(\displaystyle 50\) тысяч рублей, и, следовательно,

\(\displaystyle \color{green}{715-n\cdot 35}=50{\small .}\)

Отсюда получаем, что

\(\displaystyle n=\frac{715-50}{35}{\small ,}\)

\(\displaystyle n=19{\small .}\)

Продолжим таблицу с \(\displaystyle n=19\) месяца.
 

ШагДолгПроцентыВыплаты
\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)
19

 

 

\(\displaystyle \color{green}{715-19\cdot 35}\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(715-18\cdot 35)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(715-18\cdot 35)}+35\)
20

 

 

\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(715-19\cdot 35)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(715-19\cdot 35)}+\color{green}{715-19\cdot 35}\)


В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть  выплатить всю сумму:

  • долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{719-19\cdot 35} {\small ; }\)
  • проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{x(715-19\cdot 35)} {\small . }\)

Поэтому выплата в последний месяц составит

\(\displaystyle \color{blue}{x(715-19\cdot 35)}+\color{green}{715-19\cdot 35}{\small .}\)

Найдем общую сумму выплат:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{x\cdot 715}+35+\color{blue}{x(715-35)}+35+\color{blue}{x(715-2\cdot 35)}+35+\ldots+\color{blue}{x(715-18\cdot 35)}+35+\\+\color{blue}{x(715-19\cdot 35)}+\color{green}{715-19\cdot 35}{\small . }\end{array}\)

Выделим цветом подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{array}{l} x\cdot \color{blue}{715}+\color{green}{35}+x(\color{blue}{715}-\color{red}{35})+\color{green}{35}+ x(\color{blue}{715}-\color{red}{2\cdot 35})+\color{green}{35}+\ldots+x(\color{blue}{715}-\color{red}{18\cdot 35})+\color{green}{35}+\\+x(\color{blue}{715}-\color{red}{19\cdot 35})+715-19\cdot 35{\small . }\end{array}\)

Сгруппируем их:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{green}{\overbrace{35+35+35+\ldots+35}^{19\, раз}}+x(\color{blue}{\overbrace{715+715+715+\ldots+715+715}^{20 \, раз}})-\\-x\cdot 35(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{18}+\color{red}{19})+715-19\cdot 35 {\small .}\end{array}\)

Вычислим сумму арифметической прогрессии:

\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{18}+\color{red}{19}=\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}{\small .}\)

По условию общая сумма выплат равна \(\displaystyle 1561{,}6{\small .}\) Тогда получаем:

\(\displaystyle 1561{,}6=\color{green}{19\cdot 35}+x\cdot \color{blue}{20\cdot 715}-x\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}+715-19\cdot 35{\small .}\)

Сократим \(\displaystyle \color{green}{19\cdot 35}\) и \(\displaystyle 19\cdot 35{\small :}\)

\(\displaystyle 1561{,}6=x\cdot \color{blue}{20\cdot 715}-x\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}+715{\small .}\)

Решим полученное линейное уравнение:

\(\displaystyle (\color{blue}{20\cdot 715}-\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19})x=1561{,}6-715{\small ,}\)

\(\displaystyle 14110x=846{,}6 {\small ,}\)

\(\displaystyle x=\frac{846{,}6}{14110} {\small ,}\)

\(\displaystyle x=0{,}06{\small .}\)

Так как \(\displaystyle x=\frac{p}{100}{\small ,}\) то \(\displaystyle p=100\cdot x\) и

\(\displaystyle p=100\cdot 0{,}06{\small ,}\)

\(\displaystyle p=6{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle n=19\) и \(\displaystyle p=6{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle n=19\) и \(\displaystyle p=6{\small .}\)